作者friendever (michael)
看板Statistics
標題[問題] 關於joint pdf的觀念
時間Fri Jan 11 11:05:10 2013
設
隨機變數 X 為uniform distribution 在(0,1) =>即f(x)=1
且另一隨機變數Y=X^2
求E(XY)
1
課本作法是E(XY)=E(X*X^2)=E(X^3)=∫x^3*1dx=1/4
0
這個做法我了解
不過我想說換個做法，找f(x,y)再用雙重積分求解
於是我卡在一個問題，這樣子的joint pdf f(x,y)找的到嗎？
因為課本講的方法都是給f(x,y)然後去由X、Y映射的
新隨機變數U、V的joint pdf f(u,v)
像這種要怎麼找joint pdf呢？
如果找到了，所求可以如下嗎？
1 x^2
E(XY)=∫∫
xy*f(x,y)dydx 上色比較好看，無其他意義
0 0
麻煩高手教我了> <
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◆ From: 140.114.216.85
1F：→ clickhere:可.對y=x^2做線積分求x在(0,1)間的弧長 sec*tan - .... 01/11 13:16
2F：→ clickhere:再把弧長倒數就是 f(x,y), 但定義域為 y=x^2 在 x 屬於 01/11 13:19
3F：→ clickhere:(0,1)上的曲線. E(XY) 可求得相同. 01/11 13:20
請問為何要求弧長再取倒數呢？
另外得到f(x,y)之後，對y的積分上下限是多少呢？
對x的上下限應該是1吧@@
※ 編輯: friendever 來自: 140.114.216.85 (01/11 19:18)
4F：→ clickhere:因為X為U(0,1), Y 為 X 的函數, (X,Y)為 y=x^2 上的 01/11 23:14
5F：→ clickhere:線上的uniform分佈,故為弧長的倒數.使得機率為1. 01/11 23:15
6F：→ clickhere:轉換後,x為(0,1),但y不是(0,1),而是y=x^2那條線. 01/11 23:16
7F：→ clickhere:要對y做線積分,而不是整個線下與x軸的面做積分. 01/11 23:17
8F：→ yhliu:Y=X^2, 因此 X,Y 沒有聯合 p.d.f.. 01/12 04:47
9F：→ yhliu:Given X=x, Y 的條件分布是退化為一點 Y=x^2 的單點質量. 01/12 04:48
10F：→ yhliu:因此, 只能用 E[XY] = E[E[XY|X]] = E[X E[Y|X]] = E[X^3]. 01/12 04:49