作者friendever (michael)
看板Statistics
标题[问题] 关於joint pdf的观念
时间Fri Jan 11 11:05:10 2013
设
随机变数 X 为uniform distribution 在(0,1) =>即f(x)=1
且另一随机变数Y=X^2
求E(XY)
1
课本作法是E(XY)=E(X*X^2)=E(X^3)=∫x^3*1dx=1/4
0
这个做法我了解
不过我想说换个做法，找f(x,y)再用双重积分求解
於是我卡在一个问题，这样子的joint pdf f(x,y)找的到吗？
因为课本讲的方法都是给f(x,y)然後去由X、Y映射的
新随机变数U、V的joint pdf f(u,v)
像这种要怎麽找joint pdf呢？
如果找到了，所求可以如下吗？
1 x^2
E(XY)=∫∫
xy*f(x,y)dydx 上色比较好看，无其他意义
0 0
麻烦高手教我了> <
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.216.85
1F：→ clickhere:可.对y=x^2做线积分求x在(0,1)间的弧长 sec*tan - .... 01/11 13:16
2F：→ clickhere:再把弧长倒数就是 f(x,y), 但定义域为 y=x^2 在 x 属於 01/11 13:19
3F：→ clickhere:(0,1)上的曲线. E(XY) 可求得相同. 01/11 13:20
请问为何要求弧长再取倒数呢？
另外得到f(x,y)之後，对y的积分上下限是多少呢？
对x的上下限应该是1吧@@
※ 编辑: friendever 来自: 140.114.216.85 (01/11 19:18)
4F：→ clickhere:因为X为U(0,1), Y 为 X 的函数, (X,Y)为 y=x^2 上的 01/11 23:14
5F：→ clickhere:线上的uniform分布,故为弧长的倒数.使得机率为1. 01/11 23:15
6F：→ clickhere:转换後,x为(0,1),但y不是(0,1),而是y=x^2那条线. 01/11 23:16
7F：→ clickhere:要对y做线积分,而不是整个线下与x轴的面做积分. 01/11 23:17
8F：→ yhliu:Y=X^2, 因此 X,Y 没有联合 p.d.f.. 01/12 04:47
9F：→ yhliu:Given X=x, Y 的条件分布是退化为一点 Y=x^2 的单点质量. 01/12 04:48
10F：→ yhliu:因此, 只能用 E[XY] = E[E[XY|X]] = E[X E[Y|X]] = E[X^3]. 01/12 04:49