※ 引述《kshsjimmy (Jimmy)》之銘言： : 題目如下 : Let (X,Y) be a bivariate random vector with probability density function : f(x,y)=1/π,if x^2+y^2≦1.Let Z=X+Y : (a)Find the probability density function of Z. : (b)Find the conditional probability density function of X given Z=z. : (c)Obtain E(X|Z=z). : (d)Obtain E(Z|X=x). : 這是我修的機率專題老師出的習題 : 但我已經想了很久都想不出來 : 且下周就要考期末考了 : 實在是很擔心 : 希望有人可以解答得出來 : 在下周一前解出一小題的 : 我將會贈送250p以茲感謝 這題我目前很難以基本或是一般的機率求法來得出答案 也許有人有更快更容易了解的解法，歡迎不吝吝分享 我目前是用幾何去切入 a) f(x,y)已知是個常數，且在以(0,0)為為圓心，半徑為一的圓內才有不為零的機率值 我們可以先檢驗f(x,y)是否符合pdf的性質: pdf * area of circle: (1/π)*π(1^2) = 1 所以符合 再來是Z=X+Y與這個圓面積的關係 Y | 圓 -|- \ / | \ --\-------------- X \ \-|-/ \ | \ | Z=X+Y (e.g., Z = -100) 所以當Z沒有與圓相交，Z的pdf是零。 而我們要做的就是在什麼時候，Z會與圓相交 由於Z=X+Y斜率為-1，所以可以簡單算出在 (-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) 此時Z=sqrt(-2) (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) 此時Z=sqrt(2) (sqrt(2)代表根號2) 分別與圓相切於一點，所對應的pdf值就是1/π(i.e., f(x,y)) 到這邊我的想法就是對不同的Z值所對應的pdf值就是求出在圓內的線段長 Z的pdf的意義就具體多了，接下來就是求法了 求法很多種，我是利用X=Y與Z=X+Y垂直的性質，並此兩線段的交點在欲求線段的中點 故 Z = 2X => X= Z/2 X=Y與X軸夾腳為45度 => 從圓點到Z=X+Y的距離為Z/sqrt(2) 而線段長就是2*sqrt(1-Z^2/2) 因為f(z)的積分必須為一，所以積分範圍(-sqrt(2), sqrt(2)) 2*sqrt(1-Z^2/2)*dz/sqrt(2) => f(z) = sqrt(2-z^2) b) Given Z =z意味著Z=X+Y是一條線，在線上的x值都會有非零的機率值， 所以我們要求到底有多少的x值在線上，利用 X^2+Y^2 = 1 X + Y = z X = (1/2)(z +- sqrt(2-z^2)) 把兩個解相減取絕對值 = > sqrt(2-z^2) f(x|Z=z) = 1/sqrt(2-z^2) c)d) 如果可以解出a)b)，這兩題就不是大問題了 有錯請不吝指教 -- 天下英雄出我輩，一入江湖歲月催。 鴻圖霸業談笑間，不勝人生一場醉。 提劍跨騎揮鬼雨，白骨如山鳥驚飛。 塵世如潮人如水，只嘆江湖幾人回。 --

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