※ 引述《kshsjimmy (Jimmy)》之铭言： : 题目如下 : Let (X,Y) be a bivariate random vector with probability density function : f(x,y)=1/π,if x^2+y^2≦1.Let Z=X+Y : (a)Find the probability density function of Z. : (b)Find the conditional probability density function of X given Z=z. : (c)Obtain E(X|Z=z). : (d)Obtain E(Z|X=x). : 这是我修的机率专题老师出的习题 : 但我已经想了很久都想不出来 : 且下周就要考期末考了 : 实在是很担心 : 希望有人可以解答得出来 : 在下周一前解出一小题的 : 我将会赠送250p以兹感谢 这题我目前很难以基本或是一般的机率求法来得出答案 也许有人有更快更容易了解的解法，欢迎不吝吝分享 我目前是用几何去切入 a) f(x,y)已知是个常数，且在以(0,0)为为圆心，半径为一的圆内才有不为零的机率值 我们可以先检验f(x,y)是否符合pdf的性质: pdf * area of circle: (1/π)*π(1^2) = 1 所以符合 再来是Z=X+Y与这个圆面积的关系 Y | 圆 -|- \ / | \ --\-------------- X \ \-|-/ \ | \ | Z=X+Y (e.g., Z = -100) 所以当Z没有与圆相交，Z的pdf是零。 而我们要做的就是在什麽时候，Z会与圆相交 由於Z=X+Y斜率为-1，所以可以简单算出在 (-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) 此时Z=sqrt(-2) (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) 此时Z=sqrt(2) (sqrt(2)代表根号2) 分别与圆相切於一点，所对应的pdf值就是1/π(i.e., f(x,y)) 到这边我的想法就是对不同的Z值所对应的pdf值就是求出在圆内的线段长 Z的pdf的意义就具体多了，接下来就是求法了 求法很多种，我是利用X=Y与Z=X+Y垂直的性质，并此两线段的交点在欲求线段的中点 故 Z = 2X => X= Z/2 X=Y与X轴夹脚为45度 => 从圆点到Z=X+Y的距离为Z/sqrt(2) 而线段长就是2*sqrt(1-Z^2/2) 因为f(z)的积分必须为一，所以积分范围(-sqrt(2), sqrt(2)) 2*sqrt(1-Z^2/2)*dz/sqrt(2) => f(z) = sqrt(2-z^2) b) Given Z =z意味着Z=X+Y是一条线，在线上的x值都会有非零的机率值， 所以我们要求到底有多少的x值在线上，利用 X^2+Y^2 = 1 X + Y = z X = (1/2)(z +- sqrt(2-z^2)) 把两个解相减取绝对值 = > sqrt(2-z^2) f(x|Z=z) = 1/sqrt(2-z^2) c)d) 如果可以解出a)b)，这两题就不是大问题了 有错请不吝指教 -- 天下英雄出我辈，一入江湖岁月催。 鸿图霸业谈笑间，不胜人生一场醉。 提剑跨骑挥鬼雨，白骨如山鸟惊飞。 尘世如潮人如水，只叹江湖几人回。 --

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