1. 設隨機變數X為衡量一個人一年內生病次數， Y為衡量一個人的性別，1為男性、0為女性。 聯合機率分配表如下： --------------------------- ｜y/x｜1 ｜2 ｜3 ｜4 ｜ --------------------------- ｜0 ｜0.1｜0.1｜0.1 ｜0.2 ｜ --------------------------- ｜1 ｜0.1｜0.2｜0.05｜0.15｜ --------------------------- 請問一個人一年生病次數與性別有關係嗎 ?若有關請衡量其關係方向與程度，並說明之。 我的疑問是：證得X與Y互相獨立，照理來說， Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 ρx,y=Cov(X,Y)/σx*σy =0 但是，若不理X與Y互相獨立，代入Cov(X,Y) 與ρx,y的公式，仍可算得ρx,y= -(0.13) , 而此題答案也為低度相關，而非無相關(X與Y獨立) 這樣好矛盾噢，又可以是無相關又可以是低度相關! 請問這算是題目上的瑕疵嗎? 我的算法如下： ---------------------------------- ｜y/x ｜1 ｜2 ｜3 ｜4 ｜f(y)｜ ---------------------------------- ｜0 ｜0.1｜0.1｜0.1 ｜0.2 ｜0.5 ｜ ---------------------------------- ｜1 ｜0.1｜0.2｜0.05｜0.15｜0.5 ｜ ---------------------------------- ｜f(x)｜0.2｜0.3｜0.15｜0.35｜ 1 ｜ ---------------------------------- ------------------------------- ｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜ 4 ｜ ------------------------------- ｜f(x｜y=1)｜0.2｜0.4｜0.1｜0.3｜ ------------------------------- 當x=1,y=0時，f(x,y)=f(x)*f(y)=0.1 ,所以x與y互相獨立。 照理來說， Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 。 ρx,y=Cov(X,Y)/σx*σy =0 。 但是，若不理此特性， 算出E(x)=Σxf(x)=3.65, E(x^2)=Σx^2f(x)=8.35, V(x)=1.3275,σx=1.3275。 E(y)=Σyf(y)=0.5, E(y^2)=Σy^2f(y)=0.5, V(y)=0.25, σy=0.5。 E(xy)=Σxyf(x,y)=1.25 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1.25-3.65*0.5=-(0.075) ρx,y=-(0.075)/1.325*0.5≒-(1.03) 這樣X與Y到底該算是獨立還是低度相關? 2. 是非題 若Y=a+bX,其中a,b為常數，則X與Y之相關係數等於1。 答案為非。 我的想法如下： Cov(X,Y)=Cov(X,a+bx)=E[X-μx][a+bx-E(a+bx)] =b*E[X-μx][X-μx]=bV(X)≠1。 請問我這樣想對嗎? 3. 設X、Y為一二元隨機變數，若X、Y獨立， 則Cov(X,Y)=0，E(Y｜X)=E(Y)。反之， 若E(Y｜X)=E(Y)，則Cov(X,Y)=0，則X、Y獨立。 請判斷是否正確。 我認為正確，但答案為不正確，答案的說法是： 因為若E(Y｜X)=E(Y)，X、Y不一定獨立。 我的想法： (1)若X、Y獨立，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 。 E(Y｜X)=ΣYf(Y｜X)=ΣYf(Y)=E(Y) (2)反推。 E(Y｜X)=E(Y) =>ΣYf(Y｜X)=ΣYf(Y) =>f(Y｜X)=f(Y) =>X、Y獨立 請問我哪裡想錯了嗎? 4. 若隨機變數X、Y、Z之平均數分別是2、4和5； 變異數分別是12、20、25，又X、Y和Z互相獨立。 若U=X+2Y+2Z且V=2X-4Y-2Z，則求Cov(U,V)。 我的錯誤答案是-(2306)，正確答案是-(236) 正解的做法： Cov(X+2Y+2Z,2X-4Y-2Z) =E[X+2Y+2Z-E(X)-2E(Y)-2E(X)]*[2X-4Y-2Z-2E(X)+4E(Y)+2E(Z)] =E[[X-E(X)]+2[Y-E(Y)]+2[Z-E(Z)]*[2[X-E(X)]-4[Y-E(Y)]-2[Z-E(Z)]] =... =2V(X)-8V(Y)-4V(Z)+0=-(236) 我的做法 U*V=(X+2Y+2Z)(2X-4Y-2Z)=2X^2-4XY-2XZ+4XY-8Y^2-4YZ+4XZ-8YZ-4Z^2 =2X^2-8Y^2-4Z^2+2XZ-12YZ 所以，E(UV)=2E(X^2)-8E(Y^2)-4(Z^2)+2E(XZ)-12E(YZ) 因為X、Y和Z互相獨立，所以 E(UV)=2E(X^2)-8E(Y^2)-4(Z^2)+2E(X)E(Z)-12E(Y)E(Z) 而E(X^2)=V(X)+[E(X)]^2=12+4=16 E(Y^2)=V(Y)+[E(Y)]^2=20+16=36 E(Z^2)=V(Z)+[E(Z)]^2=25+625=650 所以，E(UV)=2*16-8*36-4*650+2*2)5-12*4*5=-(3076) E(U)=E(X)+2E(Y)+5E(Z)=2+2*4+5*5=35 E(V)=2E(X)-4E(Y)-2E(Z)=2*2-4*4-2*5=-(22) 所以，Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=-(3076)+22*35=-(2306) 答案與正解的-(236)不同，請問我哪裡想錯了嗎? 5. 小元與阿虎正在為統計上的「獨立」 與「共變數」間的關係爭辯。小元說： 「獨立一定表示共變數為零，但共變數 為零，則不一定獨立」。阿虎反辯說： 「不一定。通常你說的情況成立，但在 二元常態隨機變數下，共變數為零亦代表 獨立...。」請問你認為何種說法正確? (提示：二元常態聯合機率密度函數為： f(x,y)= _______ 1/(2πσxσy√1-ρ^2 )*e^[[(X-μx)/σx]^2+[2ρ(X-μx)(Y-μy)]/(σxσy) +[(Y-μy)/σy]^2]] 答案為阿虎的說法正確，亦即「通常獨 立一定表示共變數為零，但共變數為零， 則不一定獨立。而在二元常態隨機變數下， 共變數為零亦代表獨立。」 請問如何利用題目給的二元常態聯合機率密 度函數來說明，在二元常態隨機變數 下，共變數為零亦代表獨立?(同時也想 請教積分怎麼把E(XY)和E(X)、E(Y)積出來) 6. 請利用下面的數據畫一個散佈圖 ------------------------------ ｜x｜10｜20｜30｜40｜100｜100 ｜ ------------------------------ ｜y｜10｜30｜30｜50｜10 ｜110 ｜ ------------------------------ 計算相關係數的結果大約是0.5。對這組數 據中的大部分的點來說，x和y之間有很強的 直線關聯，是什麼因素導致相關係數只 有0.5左右。 答案是因為最末的點為influential point， 若計算ρx,y時忽略此點，就能算得相關係數 為0.9925。 然而，我去掉the influential point， 算ρx,y的結果，居然變成-(0.253)， 我的算法如下，請問我哪裡算錯了嗎? ------------------------- ｜x｜10｜20｜30｜40｜100｜ ------------------------ ｜y｜10｜30｜30｜50｜10 ｜ ------------------------ E(x)=Σx/5 =40 (亦即假設機率均等，每個X數值的機率皆0.2) E(x^2)=Σ(x^2)/5 =2600 V(x)=E(x^2)-[E(x)]^2 =1000 σx=31.62 E(y)=Σy/5 =26 (亦即假設機率均等，每個y數值的機率皆0.2) E(y^2)=Σ(y^2)/5 =900 V(y)=E(y^2)-[E(y)]^2=224 σy=14.97 E(xy)=Σxy/5=920 ρx,y=Cov(x,y)/(σx*σy)=[E(xy)-E(x)E(y)]/(σx*σy) =(920-40*26)/(31.62*14.97)=-(0.253) 請問我錯在哪裡? 感謝答覆! -- --

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