1. 设随机变数X为衡量一个人一年内生病次数， Y为衡量一个人的性别，1为男性、0为女性。 联合机率分配表如下： --------------------------- ｜y/x｜1 ｜2 ｜3 ｜4 ｜ --------------------------- ｜0 ｜0.1｜0.1｜0.1 ｜0.2 ｜ --------------------------- ｜1 ｜0.1｜0.2｜0.05｜0.15｜ --------------------------- 请问一个人一年生病次数与性别有关系吗 ?若有关请衡量其关系方向与程度，并说明之。 我的疑问是：证得X与Y互相独立，照理来说， Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 ρx,y=Cov(X,Y)/σx*σy =0 但是，若不理X与Y互相独立，代入Cov(X,Y) 与ρx,y的公式，仍可算得ρx,y= -(0.13) , 而此题答案也为低度相关，而非无相关(X与Y独立) 这样好矛盾噢，又可以是无相关又可以是低度相关! 请问这算是题目上的瑕疵吗? 我的算法如下： ---------------------------------- ｜y/x ｜1 ｜2 ｜3 ｜4 ｜f(y)｜ ---------------------------------- ｜0 ｜0.1｜0.1｜0.1 ｜0.2 ｜0.5 ｜ ---------------------------------- ｜1 ｜0.1｜0.2｜0.05｜0.15｜0.5 ｜ ---------------------------------- ｜f(x)｜0.2｜0.3｜0.15｜0.35｜ 1 ｜ ---------------------------------- ------------------------------- ｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜ 4 ｜ ------------------------------- ｜f(x｜y=1)｜0.2｜0.4｜0.1｜0.3｜ ------------------------------- 当x=1,y=0时，f(x,y)=f(x)*f(y)=0.1 ,所以x与y互相独立。 照理来说， Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 。 ρx,y=Cov(X,Y)/σx*σy =0 。 但是，若不理此特性， 算出E(x)=Σxf(x)=3.65, E(x^2)=Σx^2f(x)=8.35, V(x)=1.3275,σx=1.3275。 E(y)=Σyf(y)=0.5, E(y^2)=Σy^2f(y)=0.5, V(y)=0.25, σy=0.5。 E(xy)=Σxyf(x,y)=1.25 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1.25-3.65*0.5=-(0.075) ρx,y=-(0.075)/1.325*0.5≒-(1.03) 这样X与Y到底该算是独立还是低度相关? 2. 是非题 若Y=a+bX,其中a,b为常数，则X与Y之相关系数等於1。 答案为非。 我的想法如下： Cov(X,Y)=Cov(X,a+bx)=E[X-μx][a+bx-E(a+bx)] =b*E[X-μx][X-μx]=bV(X)≠1。 请问我这样想对吗? 3. 设X、Y为一二元随机变数，若X、Y独立， 则Cov(X,Y)=0，E(Y｜X)=E(Y)。反之， 若E(Y｜X)=E(Y)，则Cov(X,Y)=0，则X、Y独立。 请判断是否正确。 我认为正确，但答案为不正确，答案的说法是： 因为若E(Y｜X)=E(Y)，X、Y不一定独立。 我的想法： (1)若X、Y独立，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0 。 E(Y｜X)=ΣYf(Y｜X)=ΣYf(Y)=E(Y) (2)反推。 E(Y｜X)=E(Y) =>ΣYf(Y｜X)=ΣYf(Y) =>f(Y｜X)=f(Y) =>X、Y独立 请问我哪里想错了吗? 4. 若随机变数X、Y、Z之平均数分别是2、4和5； 变异数分别是12、20、25，又X、Y和Z互相独立。 若U=X+2Y+2Z且V=2X-4Y-2Z，则求Cov(U,V)。 我的错误答案是-(2306)，正确答案是-(236) 正解的做法： Cov(X+2Y+2Z,2X-4Y-2Z) =E[X+2Y+2Z-E(X)-2E(Y)-2E(X)]*[2X-4Y-2Z-2E(X)+4E(Y)+2E(Z)] =E[[X-E(X)]+2[Y-E(Y)]+2[Z-E(Z)]*[2[X-E(X)]-4[Y-E(Y)]-2[Z-E(Z)]] =... =2V(X)-8V(Y)-4V(Z)+0=-(236) 我的做法 U*V=(X+2Y+2Z)(2X-4Y-2Z)=2X^2-4XY-2XZ+4XY-8Y^2-4YZ+4XZ-8YZ-4Z^2 =2X^2-8Y^2-4Z^2+2XZ-12YZ 所以，E(UV)=2E(X^2)-8E(Y^2)-4(Z^2)+2E(XZ)-12E(YZ) 因为X、Y和Z互相独立，所以 E(UV)=2E(X^2)-8E(Y^2)-4(Z^2)+2E(X)E(Z)-12E(Y)E(Z) 而E(X^2)=V(X)+[E(X)]^2=12+4=16 E(Y^2)=V(Y)+[E(Y)]^2=20+16=36 E(Z^2)=V(Z)+[E(Z)]^2=25+625=650 所以，E(UV)=2*16-8*36-4*650+2*2)5-12*4*5=-(3076) E(U)=E(X)+2E(Y)+5E(Z)=2+2*4+5*5=35 E(V)=2E(X)-4E(Y)-2E(Z)=2*2-4*4-2*5=-(22) 所以，Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=-(3076)+22*35=-(2306) 答案与正解的-(236)不同，请问我哪里想错了吗? 5. 小元与阿虎正在为统计上的「独立」 与「共变数」间的关系争辩。小元说： 「独立一定表示共变数为零，但共变数 为零，则不一定独立」。阿虎反辩说： 「不一定。通常你说的情况成立，但在 二元常态随机变数下，共变数为零亦代表 独立...。」请问你认为何种说法正确? (提示：二元常态联合机率密度函数为： f(x,y)= _______ 1/(2πσxσy√1-ρ^2 )*e^[[(X-μx)/σx]^2+[2ρ(X-μx)(Y-μy)]/(σxσy) +[(Y-μy)/σy]^2]] 答案为阿虎的说法正确，亦即「通常独 立一定表示共变数为零，但共变数为零， 则不一定独立。而在二元常态随机变数下， 共变数为零亦代表独立。」 请问如何利用题目给的二元常态联合机率密 度函数来说明，在二元常态随机变数 下，共变数为零亦代表独立?(同时也想 请教积分怎麽把E(XY)和E(X)、E(Y)积出来) 6. 请利用下面的数据画一个散布图 ------------------------------ ｜x｜10｜20｜30｜40｜100｜100 ｜ ------------------------------ ｜y｜10｜30｜30｜50｜10 ｜110 ｜ ------------------------------ 计算相关系数的结果大约是0.5。对这组数 据中的大部分的点来说，x和y之间有很强的 直线关联，是什麽因素导致相关系数只 有0.5左右。 答案是因为最末的点为influential point， 若计算ρx,y时忽略此点，就能算得相关系数 为0.9925。 然而，我去掉the influential point， 算ρx,y的结果，居然变成-(0.253)， 我的算法如下，请问我哪里算错了吗? ------------------------- ｜x｜10｜20｜30｜40｜100｜ ------------------------ ｜y｜10｜30｜30｜50｜10 ｜ ------------------------ E(x)=Σx/5 =40 (亦即假设机率均等，每个X数值的机率皆0.2) E(x^2)=Σ(x^2)/5 =2600 V(x)=E(x^2)-[E(x)]^2 =1000 σx=31.62 E(y)=Σy/5 =26 (亦即假设机率均等，每个y数值的机率皆0.2) E(y^2)=Σ(y^2)/5 =900 V(y)=E(y^2)-[E(y)]^2=224 σy=14.97 E(xy)=Σxy/5=920 ρx,y=Cov(x,y)/(σx*σy)=[E(xy)-E(x)E(y)]/(σx*σy) =(920-40*26)/(31.62*14.97)=-(0.253) 请问我错在哪里? 感谢答覆! -- --

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