作者gg (GG)
看板Statistics
標題AR(1)的極限分配
時間Tue May 17 18:27:58 2011
假如有一個隨機變數 X_t依循 waek stationary AR(1), 即
X_(t+1) = c*X_t + e_t, X_0 = 0,
這裡 e_t 是變異數為 σ^2 的 iid white noise, |c|<1.
若 e_t ~ N ( 0, σ^2 ), 可知對任一有限期的 X_t 亦依循常態分配.
假如獨立常態隨機變數的和的運算的極限滿足封閉性, 則
d
X_t → N ( 0, σ^2/(1-c^2) ).
問題：
[1]
怎知 X_t 極限分配為常態分配？比如說, 怎知 "極限運算滿足封閉性"？
[2]
若我們沒有規定 e_t 的具體分配為何, 那麼,
X_t 的極限分配有確定形式嗎？ （有這種版本的中央極限定里嗎？）
1F：→ bmka:你都已經知道limiting distribution了,怎麼會連這個結果 05/17 21:04
2F：→ bmka:怎麼來的都不知道? 05/17 21:04
3F：→ gg:因為是猜的, 而我自己的推導用到問題1.中的那個假設。 05/17 21:20
4F：→ clickhere:1.??怎麼導的?封閉性跟CLT有關? 1F幫你說完了. 05/17 22:05
因為我先前執著於想一般的問題,
希望有某種適用於 AR 版本的 CLT, 所以想岔了.
原題的確很簡單, 此處且自問自答:
因為 X_t ~ N ( 0, σ^2*[1-c^(2t)]/(1-c^2) ), 所以
X_t 的 極限分配的確是 N ( 0, σ^2/(1-c^2) ).
5F：→ clickhere:2.e_t假設太廣了, X_t有可能不收斂,CLT就不用說了. 05/17 22:08
6F：→ clickhere:2.可能要e_t的2或4次需要存在,或pair iid才有可能. 05/17 22:09
請教樓上:
在本文假設下(e_t有二次動差,iid), 嗯, 若有需要的話加上四階動差,
X_t可能不收斂嗎?
---
問題的背景:
在一般的情況下, e_t 為 σ^2 的 white noise,
由 covariance stationary 的結果都可以知道 X_t 前兩階動差的值了.
然而, 這並沒有進一步刻劃 X_t 極限分配的具體形式.
我覺得這個問題可能沒有漂亮的結果,
比如說, 若 e_t ~ U(-1,1), e_t 有任意階的動差.
此時, 任意 X_t 均不為常態分配.
若 X_t 的極限分配, 記為 X, 為常態分配,
則 c*X + e_∞ 也將是 X,
兩個常態分配的線性組合竟是均勻分配, 這應該是錯的吧.
而我所知道的的 CLT 版本不會有這樣不合理的情形,
關鍵在於, X_(t+1) 中, 相鄰幾期的 e_t 的權重太大了.
所以, 關於這個問題, 也許不應該說是什麼 CLT, 而是:
若 X_t 遵循定態 AR(1), 有沒有定理對 X_t 的極限分配有比較一般的刻劃.
感謝賜教.
※ 編輯: gg 來自: 114.45.230.215 (05/18 05:05)
7F：→ clickhere:c 如果是 t 的函數呢? 05/18 11:19
8F：→ clickhere:兩個常態分配的線性組合竟是均勻分配?? 沒看懂. 05/18 11:20
9F：→ gg:AR(1)的c限制為常數啊 / 因為 e_∞ = (1-c)X, 左邊均勻右邊常態 05/18 18:04
10F：→ clickhere:因為看不出來X會是常態呀,如果c是常數. 05/19 01:19
11F：→ yhliu:X_n = c^n X_0 + c^{n-1}e_2+...+ce_{n-1}+e_n 05/19 02:19
12F：→ yhliu:假設 e_n, n=1,2,..., 是 i.i.d., 則似乎不符 CLT 條件. 05/19 02:21
13F：→ yhliu:在 stationary 條件(|c|<1)下, 針對不同的 e_n 的分布假設, 05/19 02:29
14F：→ yhliu:應可得 X_n 的不同極限分布. 05/19 02:30
15F：→ gg:感謝. 所以目前看來要 case by case. 05/19 23:31