作者gg (GG)
看板Statistics
标题AR(1)的极限分配
时间Tue May 17 18:27:58 2011
假如有一个随机变数 X_t依循 waek stationary AR(1), 即
X_(t+1) = c*X_t + e_t, X_0 = 0,
这里 e_t 是变异数为 σ^2 的 iid white noise, |c|<1.
若 e_t ~ N ( 0, σ^2 ), 可知对任一有限期的 X_t 亦依循常态分配.
假如独立常态随机变数的和的运算的极限满足封闭性, 则
d
X_t → N ( 0, σ^2/(1-c^2) ).
问题：
[1]
怎知 X_t 极限分配为常态分配？比如说, 怎知 "极限运算满足封闭性"？
[2]
若我们没有规定 e_t 的具体分配为何, 那麽,
X_t 的极限分配有确定形式吗？ （有这种版本的中央极限定里吗？）
1F：→ bmka:你都已经知道limiting distribution了,怎麽会连这个结果 05/17 21:04
2F：→ bmka:怎麽来的都不知道? 05/17 21:04
3F：→ gg:因为是猜的, 而我自己的推导用到问题1.中的那个假设。 05/17 21:20
4F：→ clickhere:1.??怎麽导的?封闭性跟CLT有关? 1F帮你说完了. 05/17 22:05
因为我先前执着於想一般的问题,
希望有某种适用於 AR 版本的 CLT, 所以想岔了.
原题的确很简单, 此处且自问自答:
因为 X_t ~ N ( 0, σ^2*[1-c^(2t)]/(1-c^2) ), 所以
X_t 的 极限分配的确是 N ( 0, σ^2/(1-c^2) ).
5F：→ clickhere:2.e_t假设太广了, X_t有可能不收敛,CLT就不用说了. 05/17 22:08
6F：→ clickhere:2.可能要e_t的2或4次需要存在,或pair iid才有可能. 05/17 22:09
请教楼上:
在本文假设下(e_t有二次动差,iid), 嗯, 若有需要的话加上四阶动差,
X_t可能不收敛吗?
---
问题的背景:
在一般的情况下, e_t 为 σ^2 的 white noise,
由 covariance stationary 的结果都可以知道 X_t 前两阶动差的值了.
然而, 这并没有进一步刻划 X_t 极限分配的具体形式.
我觉得这个问题可能没有漂亮的结果,
比如说, 若 e_t ~ U(-1,1), e_t 有任意阶的动差.
此时, 任意 X_t 均不为常态分配.
若 X_t 的极限分配, 记为 X, 为常态分配,
则 c*X + e_∞ 也将是 X,
两个常态分配的线性组合竟是均匀分配, 这应该是错的吧.
而我所知道的的 CLT 版本不会有这样不合理的情形,
关键在於, X_(t+1) 中, 相邻几期的 e_t 的权重太大了.
所以, 关於这个问题, 也许不应该说是什麽 CLT, 而是:
若 X_t 遵循定态 AR(1), 有没有定理对 X_t 的极限分配有比较一般的刻划.
感谢赐教.
※ 编辑: gg 来自: 114.45.230.215 (05/18 05:05)
7F：→ clickhere:c 如果是 t 的函数呢? 05/18 11:19
8F：→ clickhere:两个常态分配的线性组合竟是均匀分配?? 没看懂. 05/18 11:20
9F：→ gg:AR(1)的c限制为常数啊 / 因为 e_∞ = (1-c)X, 左边均匀右边常态 05/18 18:04
10F：→ clickhere:因为看不出来X会是常态呀,如果c是常数. 05/19 01:19
11F：→ yhliu:X_n = c^n X_0 + c^{n-1}e_2+...+ce_{n-1}+e_n 05/19 02:19
12F：→ yhliu:假设 e_n, n=1,2,..., 是 i.i.d., 则似乎不符 CLT 条件. 05/19 02:21
13F：→ yhliu:在 stationary 条件(|c|<1)下, 针对不同的 e_n 的分布假设, 05/19 02:29
14F：→ yhliu:应可得 X_n 的不同极限分布. 05/19 02:30
15F：→ gg:感谢. 所以目前看来要 case by case. 05/19 23:31