作者andy2007 (...)
看板Statistics
標題[機統] 動差母函數的由來和歷史
時間Wed Mar 30 23:25:47 2011
※ [本文轉錄自 Math 看板 #1DaqipiK ]
作者: andy2007 (...) 看板: Math
標題: [機統] 動差母函數的由來和歷史
時間: Wed Mar 30 23:24:33 2011
前輩們好，今天又要來麻煩各位了。
書上看到有關於動差母函數的定義如下：
對於具有密度函數 f (x) 之隨機變數 X 而言，若以下期望值計算存在，
X
則其結果稱為 X 之動差母函數，記作M (t)。
X
tX ∞ tX
M (t) = E[ e ] = ∫ f (x) e dx
X -∞ X
有疑問的地方是為什麼要取 e^tX 取期望值，是有什麼特別的原因嗎？
經過微分的動作之後明白，如果取 e^tX 的話微分之後可以得到ｎ次動差
但是真的只有「e^tX這個函數的性質很特別，微分ｎ次便可以得到ｎ次動差」這個原因嗎？
是否有其他的關係或者是歷史呢？
在數學傳播的文章中：
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d93/9301.pdf
的第七頁中寫到了：
在機率學上，他(拉普拉斯)首先引用了「動距母函數」(moment generating function)。
令 X 為一取自然數值的隨機變數，則稱
∞ n
f (t) = Σ P( X = n ) t 為 X 的動距母函數。
n=0
同樣是動差母函數，為什麼一個是 e^tX，而另一個是 t^n 呢？
有什麼地方不一樣的嗎？
雖然維基百科上面是定義動差母函數就是這樣
http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function
但是我還是想知道各位前輩的想法是如何
問了奇怪的問題，還請各位前輩們多多包含，替我指點迷津
再次感謝各位前輩們的幫助～謝謝您們～
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
1F：→ yhliu:E[t^X] 在工數或離散稱 generating function, 在統計上有兩 03/31 10:11
2F：→ yhliu:個稱呼: probability generating function 與 factorial 03/31 10:11
3F：→ yhliu:moment generating function. 若 X 的有效值域是非負整數子 03/31 10:12
4F：→ yhliu:集, 則 E[t^X] 在 t=0 展開, 其 t^k 係數即是 P[X=k]. 03/31 10:13
5F：→ yhliu:若 E[t^X] 存在於一個包含 1 的開區間, 將它在 t=1 展開成 03/31 10:14
6F：→ yhliu:冪級數, 則係數是 E[X(X-1)...(X-k+1)]/k!. 把 t 變成 e^u, 03/31 10:14
7F：→ yhliu:成為 E[e^(uX)], 即是動差母函數(moment generating funct.) 03/31 10:15
8F：→ yhliu:m.g.f. 存在的意義是 E[e^(tX)] 在包含 0 的一個開區間存在, 03/31 10:16
9F：→ yhliu:這與 f.m.g.f. 的存在是在一個包含 1 的開區間成立相對應. 03/31 10:17
10F：→ yhliu:又, Laplace 變換在 p.d.f. 相當於 E[e^{-sX}], 而 Fourier 03/31 10:18
11F：→ yhliu:變換是 E[e^{itX}], 在統計上也就是 characteristic funct. 03/31 10:19
12F：→ andy2007:感謝yhliu前輩的詳細說明～再次謝謝您～ 04/05 22:45