作者andy2007 (...)
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标题[机统] 动差母函数的由来和历史
时间Wed Mar 30 23:25:47 2011
※ [本文转录自 Math 看板 #1DaqipiK ]
作者: andy2007 (...) 看板: Math
标题: [机统] 动差母函数的由来和历史
时间: Wed Mar 30 23:24:33 2011
前辈们好，今天又要来麻烦各位了。
书上看到有关於动差母函数的定义如下：
对於具有密度函数 f (x) 之随机变数 X 而言，若以下期望值计算存在，
X
则其结果称为 X 之动差母函数，记作M (t)。
X
tX ∞ tX
M (t) = E[ e ] = ∫ f (x) e dx
X -∞ X
有疑问的地方是为什麽要取 e^tX 取期望值，是有什麽特别的原因吗？
经过微分的动作之後明白，如果取 e^tX 的话微分之後可以得到ｎ次动差
但是真的只有「e^tX这个函数的性质很特别，微分ｎ次便可以得到ｎ次动差」这个原因吗？
是否有其他的关系或者是历史呢？
在数学传播的文章中：
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d93/9301.pdf
的第七页中写到了：
在机率学上，他(拉普拉斯)首先引用了「动距母函数」(moment generating function)。
令 X 为一取自然数值的随机变数，则称
∞ n
f (t) = Σ P( X = n ) t 为 X 的动距母函数。
n=0
同样是动差母函数，为什麽一个是 e^tX，而另一个是 t^n 呢？
有什麽地方不一样的吗？
虽然维基百科上面是定义动差母函数就是这样
http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function
但是我还是想知道各位前辈的想法是如何
问了奇怪的问题，还请各位前辈们多多包含，替我指点迷津
再次感谢各位前辈们的帮助～谢谢您们～
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
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1F：→ yhliu:E[t^X] 在工数或离散称 generating function, 在统计上有两 03/31 10:11
2F：→ yhliu:个称呼: probability generating function 与 factorial 03/31 10:11
3F：→ yhliu:moment generating function. 若 X 的有效值域是非负整数子 03/31 10:12
4F：→ yhliu:集, 则 E[t^X] 在 t=0 展开, 其 t^k 系数即是 P[X=k]. 03/31 10:13
5F：→ yhliu:若 E[t^X] 存在於一个包含 1 的开区间, 将它在 t=1 展开成 03/31 10:14
6F：→ yhliu:幂级数, 则系数是 E[X(X-1)...(X-k+1)]/k!. 把 t 变成 e^u, 03/31 10:14
7F：→ yhliu:成为 E[e^(uX)], 即是动差母函数(moment generating funct.) 03/31 10:15
8F：→ yhliu:m.g.f. 存在的意义是 E[e^(tX)] 在包含 0 的一个开区间存在, 03/31 10:16
9F：→ yhliu:这与 f.m.g.f. 的存在是在一个包含 1 的开区间成立相对应. 03/31 10:17
10F：→ yhliu:又, Laplace 变换在 p.d.f. 相当於 E[e^{-sX}], 而 Fourier 03/31 10:18
11F：→ yhliu:变换是 E[e^{itX}], 在统计上也就是 characteristic funct. 03/31 10:19
12F：→ andy2007:感谢yhliu前辈的详细说明～再次谢谢您～ 04/05 22:45