作者rnao (月 工 毛 )
看板Statistics
標題[問題] 簡單迴歸的殘差變異數
時間Fri Oct 15 12:23:31 2010
我想要證明下式成立(殘差變異數)
Var(e_i)=σ^2-Var(Y_i^hat)
一開始我先把ei拆成Y_i-Y_i^hat
Var(Y_i-Y_i^hat)=Var(Y_i)+Var(Y_i^hat)-2Cov(Y_i,Y_i^hat)
等號右邊前兩項在一般的統計學書上都找得到
不過第三項在書上都沒看到他的證明過程
如果一開始的證明要成立
Cov(Y_i,Y_i^hat)應該會等於Var(Y_i^hat)
我又把Cov括號內的Y_i拆成Y_i^hat+e_i
Cov(Y_i,Y_i^hat)=Cov(e_i,Y_i^hat)+Var(Y_i^hat)
所以接下來只要證明Cov(e_i,Y_i^hat)=0即可
Cov(e_i,Y_i^hat)=E(e_i*Y_i^hat)-E(e_i)E(Y_i^hat)
又因E(e_i)=E(Y_i-Y_i^hat)=E(Y_i)-E(Y_i^hat)=0
所以等號右邊第一項 E(e_i*Y_i^hat)也應該為0
我又把Y_i^hat換成Y_i-e_i
E[e_i*(Y_i-e_i)]=E(e_i*Y_i)-E[(e_i)^2]
再依些書上也可以找到Σe_i*Y_i=0之推導
不過等號右邊第二項看起來就不會等於0
所以我的證明到這裡就卡住了...
請問有哪個步驟錯了嗎? 或是該怎樣繼續下去
謝謝各位把他看完...
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.243.243
1F：→ arbiteron:E(e_i) = 0, E(e_i)E(Y_i^hat)="0"*E(Y_i^hat) = ? 10/15 13:13