作者justplay (Noblesse Oblige)
看板Statistics
標題[問題] 台大經濟 96 年 統計第三題
時間Fri Jan 15 20:20:43 2010
題目 Y=X+e, X & e 彼此獨立。 X~ uniform(0,1), e~N(0, sigma^2)
求： F(y): CDF of Y.
Hint (Law of total probability): P(A)=E(P(A|B))
Sol: F(y)=Pr(Y<=y)
=E(Pr(Y<=y|e)) by hint
=E(Pr(X+e<=y|e)) by def.
=E(Pr(X<=y-e|e))
??? =E(y-e)
我有問題的是 ??? 這行。在解釋上是因為 X & e 獨立，
所以 Pr(X<=y-e|e) = Pr(X<=y-e) =y-e 嗎？ 還是這個
方向想有問題呢？
謝謝回答！
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.200.111
1F：推 selient:沒錯呀，因為獨立 01/15 21:58
2F：→ justplay:所以最後一行變成 E(y-e)=E(y)-E(e)=y ? 01/15 22:57
3F：→ justplay:如果是一開始 conditional on x 的話，要怎麼樣 01/15 22:57
4F：→ justplay:解 會有同樣等於 y 的答案？ 01/15 22:58
5F：→ yhliu:Pr(X<=y-e|e) iff 0<=y-e<=1 iff y-1<=e<=y. 01/16 00:53
6F：→ yhliu:Pr(X<=y-e|e)=y-e iff 0<=y-e<=1 iff y-1<=e<=y. 01/16 00:54
7F：推 wuwu66:我也很好奇如果給定X已知會怎樣 01/16 00:55
8F：→ yhliu:P[Y≦y] = E[P[Y≦y|X]] = E[P[e≦y-X|X]] =E[Φ((y-X)/σ)] 01/17 08:19
9F：→ yhliu:=∫_[0,1] Φ((y-x)/σ) dx, 其中 Φ 是 N(0,1) 之 d.f. 01/17 08:20