※ 引述《sky91302018 (sky)》之銘言： : 題目:若已知全班50位同學的最高分與最低分差距是30分， : 請問這班學生成績的最大可能之標準差是多少?最小可能之標準差是多少分? : 請問板上高手我知道要這樣設但卻不明所以，希望有人可以解釋給我聽或是証給我看 : 感激不盡 <(_ _)> : (1)最大標準差：必須50人當中，25人最高分，25人最低分 : (2)最小標準差：50人當中，1人最高分，一人最低分，其他人全部落在平均數上 假設有(N-1)位同學為最低分(a) 1位同學為最高分(a+30) 只有(N-2)個人分數可變動 N>=2 & N為自然數 在此情況下變異數為 Var = 1/N*[(N*a^2+60a+900)-1/N*(N*a+30)^2] ^^^^^^ 總分 又設總分變為N*a+30+c時 0 <= c <= 840(=30*28) c/30 = q......e (q餘e) c/(N-2) = k 則 當q個人分數變為a+30 一個人變為a+e時有最大值 max Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+q*30^2+e^2))-(1/N)*(N*a+30+c)^2] 將c分段來討論 分成0<=c<30(q=0,e=c) 1*30<=c<2*30(q=1,e=c-q) ... 27*30<=c<28*30 c=840 作一次&二次微分後 可求出極值 當(N-2)個人分數變為a+k時有最小值 min Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+(1/(N-2))*c^2))-(1/N)*(N*a+30+c)^2] 作一次&二次微分後 可求出極值 Appendix 總分變為*a+30+c時 設(N-2)個分數可變動的人的第i個分數變為 a+d(i) 0<=d(i)<=30 1<=i<=(N-2) Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*(d(1)+...+d(N-2))+d(1)^2+...+d(N-2)^2)) ^^^^^^^^^^^^^^^ = c -(1/N)*(N*a+30+c)^2] = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+d(1)^2+...+d(N-2)^2)) -(1/N)*(N*a+30+c)^2] 所以 Var的大小只跟d(1)^2+...+d(N-2)^2有關 限制式是 d(1)+...+d(N-2) = c 0<=d(i)<=30 用Lagrange multiplier method 或 數學歸納法 可以求出given c下的極值 (因為懶惰 所以不詳述了 ><) max => 有q個是30 1個是e min => (N-2)個都是k --

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