※ 引述《sky91302018 (sky)》之铭言： : 题目:若已知全班50位同学的最高分与最低分差距是30分， : 请问这班学生成绩的最大可能之标准差是多少?最小可能之标准差是多少分? : 请问板上高手我知道要这样设但却不明所以，希望有人可以解释给我听或是证给我看 : 感激不尽 <(_ _)> : (1)最大标准差：必须50人当中，25人最高分，25人最低分 : (2)最小标准差：50人当中，1人最高分，一人最低分，其他人全部落在平均数上 假设有(N-1)位同学为最低分(a) 1位同学为最高分(a+30) 只有(N-2)个人分数可变动 N>=2 & N为自然数 在此情况下变异数为 Var = 1/N*[(N*a^2+60a+900)-1/N*(N*a+30)^2] ^^^^^^ 总分 又设总分变为N*a+30+c时 0 <= c <= 840(=30*28) c/30 = q......e (q余e) c/(N-2) = k 则 当q个人分数变为a+30 一个人变为a+e时有最大值 max Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+q*30^2+e^2))-(1/N)*(N*a+30+c)^2] 将c分段来讨论 分成0<=c<30(q=0,e=c) 1*30<=c<2*30(q=1,e=c-q) ... 27*30<=c<28*30 c=840 作一次&二次微分後 可求出极值 当(N-2)个人分数变为a+k时有最小值 min Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+(1/(N-2))*c^2))-(1/N)*(N*a+30+c)^2] 作一次&二次微分後 可求出极值 Appendix 总分变为*a+30+c时 设(N-2)个分数可变动的人的第i个分数变为 a+d(i) 0<=d(i)<=30 1<=i<=(N-2) Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*(d(1)+...+d(N-2))+d(1)^2+...+d(N-2)^2)) ^^^^^^^^^^^^^^^ = c -(1/N)*(N*a+30+c)^2] = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+d(1)^2+...+d(N-2)^2)) -(1/N)*(N*a+30+c)^2] 所以 Var的大小只跟d(1)^2+...+d(N-2)^2有关 限制式是 d(1)+...+d(N-2) = c 0<=d(i)<=30 用Lagrange multiplier method 或 数学归纳法 可以求出given c下的极值 (因为懒惰 所以不详述了 ><) max => 有q个是30 1个是e min => (N-2)个都是k --

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