作者LiamIssac (Madchester)
看板Statistics
標題Re: [問題] 有人可以舉個例子嗎
時間Wed Aug 1 02:03:52 2007
※ 引述《JET0607 (老了老了....)》之銘言：
: 最近學到一個定理Wald's equation
: 不知道各位先進有沒有實際的例子可以對這個定理做個說明
: 讓小弟更了解這個定理的用處
: 謝謝
比方說 現在有一場賭局 輸贏各是1塊錢(Let P{win} = p, P{lose} = 1-p, no draw)
假設一開始手中只有1塊錢 令 Xi 為每一場輸贏的錢 i.e.
Xi = 1, you win; -1, otherwise
n
所以 玩了n局之後我的手中的總財產就是 Y = Σ Xi
i=1
假設玩了k局之後 我希望我的財產會達到某個數值(ex. 5塊錢)
所以就設定第k局是我的stopping time
那我只需要玩到第k局就可以知道 {Y = 5} 這個事件會不會發生
k
這時候要算財產的期望值 就可以用 Wald's equation E(Y) = E(Σ Xi) = E(k)E(Xi)
i=1
(以尚有錯請指正 按照記憶打的 哈哈 有很大的機會說錯...
反正觀念就是 只要知道 stopping time 就可以用Wald's Eq.!)
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另外一個很像但觀念不同的例子 就是Compound poisson r.v.
Let Yi be a r.v. with mean E(Yi), and a Poisson r.v. X with mean λ
X
where Y = Σ Yi, then, E(Y) = E(X)E(Yi) = λE(Yi)
i=1
這部分直接用 condition 的概念就可以證明出來了
一般stochastic process書籍講到Poisson process 應該都會提到 (請參考ROSS的書)
之前學到Wald's eq是在renewal process的地方
ROSS那本書的章節就有很多這個定理的例子
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