※ 引述《[email protected] (老怪物)》之銘言： : ※ 引述《[email protected] (喔喔喔)》之銘言： : > 有幾個求分配的題目想請教一下 : > 1.Suppose that f(x,y)=1 for 0<x<1, 0<y<1 and =0 otherwise. Obtain f(x│X<Y). : > f(x│X<Y) = f(x,x<y)/f(x<y) : > 請問f(x,x<y)該怎麼求呢? : P[X≦x|X<Y] = P[X≦x, X<Y]/P[X<Y] : 1 : = 2∫ min{x,y} dy : 0 我覺得我被大小寫搞混了 我把隨機變數當成變量下去算 所以求出很奇怪的答案 P[X<Y]這個機率本身 因為Y是隨機變數的關係 所以也是隨機變數? 1 不知道2∫ min{x,y} dy是怎麼求出來的呢? 0 : > 3.Let X1,...,Xn be independent random variables, each with the exponential : > distribution:P(X>=x)=e^(-αx), x>=0. Put X(n)=max{X1,...Xn}. and : > bn=α^(-1)logn. What is the limiting distribution of X(n)-bn? : > 令Yn = max{X1-bn,...,Xn-bn} : > Yn的cdf => F(y) = P(Yn=<y) = P[(X1-bn)=<y,...,(Xn-bn)=<y] : > = [Fx(y+bn)]^n = {1-e^[-α(y+bn)]}^n : > = {1-e^[-α(y+α^(-1)logn)]}^n : = (1-e^{-αy}/n)^n : -αy : -e : → e : The limiting distribution of Yn as n→∞ is : H(y) = exp{-exp(-αy)}, -∞<y<∞ : 其 p.d.f. 為 : h(y) = α e^{-αy} e^{-e^{-αy}}, -∞<y<∞ 我剛剛翻了書 發現我搞錯了 d 分配收斂的定義是limFn(x)----->F(x) n 是由cdf來定義的 因為我先求出pdf再取極限 所以答案是錯的 我有個疑惑 為什麼分配收斂要由cdf來定義 卻不能用pdf來定義呢? 由pdf來定義會導致什麼問題嗎? : > 4.Let the i.i.d. sequence{Xi} with pdf f(x)=2x^(-3), 1=<x<∞, Could we find : > _ : > the probability limit of X? : E[X1] = 2, Var[X1] 不存在. : 由 LLN, the sample mean converges to E[X1]=2 a.s. : 但 i.i.d. case 的 CLT 不適用. 事實上可證明: : 若 Xi, i=1,...,n,... 是 i.i.d. 而 μ=E[X1] 存在, : _ : 則 √n(X - E[X1]) 有極限分布 <==> Var[X1]<∞. : (Ref.: Durrett, Probability: Theory and Examples, : 2nd ed., Exercise 4.3.) : 不過, 本例仍有可能經適當標準化而有極限分布. 參考 : Durrett 前引書 Example 4.8 及其 Rematk. 感謝~我了解了~ --

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