※ 引述《[email protected] (老怪物)》之铭言： : ※ 引述《[email protected] (喔喔喔)》之铭言： : > 有几个求分配的题目想请教一下 : > 1.Suppose that f(x,y)=1 for 0<x<1, 0<y<1 and =0 otherwise. Obtain f(x│X<Y). : > f(x│X<Y) = f(x,x<y)/f(x<y) : > 请问f(x,x<y)该怎麽求呢? : P[X≦x|X<Y] = P[X≦x, X<Y]/P[X<Y] : 1 : = 2∫ min{x,y} dy : 0 我觉得我被大小写搞混了 我把随机变数当成变量下去算 所以求出很奇怪的答案 P[X<Y]这个机率本身 因为Y是随机变数的关系 所以也是随机变数? 1 不知道2∫ min{x,y} dy是怎麽求出来的呢? 0 : > 3.Let X1,...,Xn be independent random variables, each with the exponential : > distribution:P(X>=x)=e^(-αx), x>=0. Put X(n)=max{X1,...Xn}. and : > bn=α^(-1)logn. What is the limiting distribution of X(n)-bn? : > 令Yn = max{X1-bn,...,Xn-bn} : > Yn的cdf => F(y) = P(Yn=<y) = P[(X1-bn)=<y,...,(Xn-bn)=<y] : > = [Fx(y+bn)]^n = {1-e^[-α(y+bn)]}^n : > = {1-e^[-α(y+α^(-1)logn)]}^n : = (1-e^{-αy}/n)^n : -αy : -e : → e : The limiting distribution of Yn as n→∞ is : H(y) = exp{-exp(-αy)}, -∞<y<∞ : 其 p.d.f. 为 : h(y) = α e^{-αy} e^{-e^{-αy}}, -∞<y<∞ 我刚刚翻了书 发现我搞错了 d 分配收敛的定义是limFn(x)----->F(x) n 是由cdf来定义的 因为我先求出pdf再取极限 所以答案是错的 我有个疑惑 为什麽分配收敛要由cdf来定义 却不能用pdf来定义呢? 由pdf来定义会导致什麽问题吗? : > 4.Let the i.i.d. sequence{Xi} with pdf f(x)=2x^(-3), 1=<x<∞, Could we find : > _ : > the probability limit of X? : E[X1] = 2, Var[X1] 不存在. : 由 LLN, the sample mean converges to E[X1]=2 a.s. : 但 i.i.d. case 的 CLT 不适用. 事实上可证明: : 若 Xi, i=1,...,n,... 是 i.i.d. 而 μ=E[X1] 存在, : _ : 则 √n(X - E[X1]) 有极限分布 <==> Var[X1]<∞. : (Ref.: Durrett, Probability: Theory and Examples, : 2nd ed., Exercise 4.3.) : 不过, 本例仍有可能经适当标准化而有极限分布. 参考 : Durrett 前引书 Example 4.8 及其 Rematk. 感谢~我了解了~ --

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