※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言： > ※ 引述《clairehsupo (嗯...)》之銘言： > > 修正如下: > > 通常可以證明資料的某一部分對於未知分布是不帶有資訊的, > > 因此X可以藉由某個統計量T(X)所取代而不會失去資訊. 嗯~這部份的理解可能是由於文章中的誤導所致 不過在上一篇的糾正中已完全了解了... (附注:下文出自於Lehmann的Theory of point estimation,P32) > > "It often turns out that some part of the data carries no > > information about the unknown distribution and that X can > > therefore be replaced by some statistic T=T(X) without loss > > of information." > 這說法不嚴謹而會誤導. > > 修正如右:則δ1(t,A)=E[δ0(X,A)|T=t] > > 修改如右:因此上述定理並不能應用在隨機決策規則是不可接受的. > > 限定在隨機決策規則是允許可使用的. > > 則δ1(T,·)這樣的隨機決策規則允許可使用的. > > 若在隨機決策規則是不可接受的,則只有在δ0(X)=h(T(X)) > > 的情況下,會使得δ1(t,A)=E[δ0(X,A)|T=t]為一個非隨機決策規則. 上述的部分原文來自於Jun Shao的Mathematical Statistics,P86-87) 原文如下:(原文可能有點長,先說聲抱歉) Suppose that we have a sufficient statistic T(X) for θ. Intutively, our decision rule should be a function of T, based on the discussion in sufficiency. This is not true in general, but the following result indicates that this is ture if randomized decision rules are allowed. [文接前文定理] Note that theorem does not imply that δ0 is inadmissble. If δ0 is a nonrandomized rule, δ1 is still a randomized rule, unless δ0(X)=h(T(X)) a.s. P for some Borel function h. Hence, the theorem does not apply to situations where randomized rules are not allowed. The following result tell us when nonrandomized rules are all we need and when decision rules that are not function of sufficients are inadmissible. [文接Rao-Blackwell theorem] > > 在Rao-Blackwell定理中則說明了,假如僅限定在非隨機決策規則上, > > 且若決策規則非充份統計量的函數則為indimissible. > > (當loss function 為 strictly convex in a). > 這一部分我不知你所讀的書原文如何敘述, 但我看你的轉 > 述, 看來看去都有問題! 這部分是否因為是δ(X,A)的定義不同所產生的誤會. 上述對於δ(X,A)的定義來自於(James O. Berger的 Statistical Decision theory and Bayesian analysis,P12) 一個 randomized decision rule 可表示成δ(X,·)對於任意的x, δ(X,·)為一個在Α上的機率分佈(就如同您在下面敘述的Z) 而δ(X,A)為選擇一個在Α中的action的機率. > 須知: 若 δ0(X)=h(T(X)), 則 E[δ0(X)|T=t] = h(t), > 即 E[δ0(X)|T] = h(T). > 再者, E[.|T=t] 之意義是甚麼? > 一個 randomized decision rule 可表示成 δ(X,Z), 其 > 中 X 是 data; 而 Z 是額外的隨機程序. Z的分布可依 X > 而變, 如 Neyman-Pearson test 即是一例. > 因此, E[δ(X,Z) | T=t] 依標準符跑解讀, 只有 T=t 是 > 固定的, Z 與 X 都消失了. > The princilple of sufficiency 說: > 給予任何 decision function, 存在一個只與充分 > 統計計量有關的 decision function, 不比原決策 > 差. > 因由 T 可構造 X' 與 X 有完全相同的機率結構, 不論群 > 體參數是如何. 也就是說: 取 Z 的分布只與 T 有關 (而 > 與群體參數無關), 則給予 δ(X), 不論是隨機或非隨機, > δ(X') 其實是 h(T,Z) 形式. 而 δ(X') 與 δ(X) 是風 > 險等價的 (具相同風險函數, 因 X' 與 X 同分布). 這也 > 相當於說: 任何基於 X 的決策函數, 可視為 randomized > decison function based on a sufficient statistic T. > 至於 Rao-Blackwell 定理則是在 convex loss function > 之下, E[h(T,Z)|T] 一定不比 h(T,Z) 差. 也就是說, 在 > convex loss function 之下, 不需考慮隨機化決策函數, > 而非 "不允許隨機化決策". 甚且, 在 strictly convex, > 例如 squared error loss 的情況, randomized decision > function 是 inadmissible. -- 夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子 之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下 矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以 喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫 之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知 220-133-64-250.HINET-IP.hinet.net海