※ 引述《yhliu (老怪物)》之铭言： > ※ 引述《clairehsupo (嗯...)》之铭言： > > 修正如下: > > 通常可以证明资料的某一部分对於未知分布是不带有资讯的, > > 因此X可以藉由某个统计量T(X)所取代而不会失去资讯. 嗯~这部份的理解可能是由於文章中的误导所致 不过在上一篇的纠正中已完全了解了... (附注:下文出自於Lehmann的Theory of point estimation,P32) > > "It often turns out that some part of the data carries no > > information about the unknown distribution and that X can > > therefore be replaced by some statistic T=T(X) without loss > > of information." > 这说法不严谨而会误导. > > 修正如右:则δ1(t,A)=E[δ0(X,A)|T=t] > > 修改如右:因此上述定理并不能应用在随机决策规则是不可接受的. > > 限定在随机决策规则是允许可使用的. > > 则δ1(T,·)这样的随机决策规则允许可使用的. > > 若在随机决策规则是不可接受的,则只有在δ0(X)=h(T(X)) > > 的情况下,会使得δ1(t,A)=E[δ0(X,A)|T=t]为一个非随机决策规则. 上述的部分原文来自於Jun Shao的Mathematical Statistics,P86-87) 原文如下:(原文可能有点长,先说声抱歉) Suppose that we have a sufficient statistic T(X) for θ. Intutively, our decision rule should be a function of T, based on the discussion in sufficiency. This is not true in general, but the following result indicates that this is ture if randomized decision rules are allowed. [文接前文定理] Note that theorem does not imply that δ0 is inadmissble. If δ0 is a nonrandomized rule, δ1 is still a randomized rule, unless δ0(X)=h(T(X)) a.s. P for some Borel function h. Hence, the theorem does not apply to situations where randomized rules are not allowed. The following result tell us when nonrandomized rules are all we need and when decision rules that are not function of sufficients are inadmissible. [文接Rao-Blackwell theorem] > > 在Rao-Blackwell定理中则说明了,假如仅限定在非随机决策规则上, > > 且若决策规则非充份统计量的函数则为indimissible. > > (当loss function 为 strictly convex in a). > 这一部分我不知你所读的书原文如何叙述, 但我看你的转 > 述, 看来看去都有问题! 这部分是否因为是δ(X,A)的定义不同所产生的误会. 上述对於δ(X,A)的定义来自於(James O. Berger的 Statistical Decision theory and Bayesian analysis,P12) 一个 randomized decision rule 可表示成δ(X,·)对於任意的x, δ(X,·)为一个在Α上的机率分布(就如同您在下面叙述的Z) 而δ(X,A)为选择一个在Α中的action的机率. > 须知: 若 δ0(X)=h(T(X)), 则 E[δ0(X)|T=t] = h(t), > 即 E[δ0(X)|T] = h(T). > 再者, E[.|T=t] 之意义是甚麽? > 一个 randomized decision rule 可表示成 δ(X,Z), 其 > 中 X 是 data; 而 Z 是额外的随机程序. Z的分布可依 X > 而变, 如 Neyman-Pearson test 即是一例. > 因此, E[δ(X,Z) | T=t] 依标准符跑解读, 只有 T=t 是 > 固定的, Z 与 X 都消失了. > The princilple of sufficiency 说: > 给予任何 decision function, 存在一个只与充分 > 统计计量有关的 decision function, 不比原决策 > 差. > 因由 T 可构造 X' 与 X 有完全相同的机率结构, 不论群 > 体参数是如何. 也就是说: 取 Z 的分布只与 T 有关 (而 > 与群体参数无关), 则给予 δ(X), 不论是随机或非随机, > δ(X') 其实是 h(T,Z) 形式. 而 δ(X') 与 δ(X) 是风 > 险等价的 (具相同风险函数, 因 X' 与 X 同分布). 这也 > 相当於说: 任何基於 X 的决策函数, 可视为 randomized > decison function based on a sufficient statistic T. > 至於 Rao-Blackwell 定理则是在 convex loss function > 之下, E[h(T,Z)|T] 一定不比 h(T,Z) 差. 也就是说, 在 > convex loss function 之下, 不需考虑随机化决策函数, > 而非 "不允许随机化决策". 甚且, 在 strictly convex, > 例如 squared error loss 的情况, randomized decision > function 是 inadmissible. -- 夫兵者不祥之器物或恶之故有道者不处君子居则贵左用兵则贵右兵者不祥之器非君子 之器不得已而用之恬淡为上胜而不美而美之者是乐杀人夫乐杀人者则不可得志於天下 矣吉事尚左凶事尚右偏将军居左上将军居右言以丧礼处之杀人之众以哀悲泣之战胜以 丧礼处之道常无名朴虽小天下莫能臣侯王若能守之万物将自宾天地相合以降甘露民莫 之令而自均始制有名名亦既有夫亦将知止知 220-133-64-250.HINET-IP.hinet.net海