作者yungjui (Daniel)
看板Statistics
標題Re: [問題] 請問標準化分數的母群參數
時間Thu Jun 15 10:52:38 2006
※ 引述《[email protected] (老怪物)》之銘言：
: ※ 引述《[email protected] (Daniel)》之銘言：
: > 如果我把 x (連續變項) 標準化為 z
: > sample mean = 0
: > sample variance = 1
: > 那請問這個 z 的母群 mean 與 variance 是否就是 0 與 1 ?
: 不是!
: 以常態群體而言, X1,...,Xn i.i.d. normal, 令
: Z1 = (X1 - Xbar)/S, Z2 = (X-Xbar)/S,
: 其中 X 為與 X1,...,Xn 獨立且同分布的隨機變數.
: 則
: Var[Z1] = E[(X1-Xbar)^2/S^2]
: 令
: W_1 = √n(X1-Xbar)/√(n-1)
: n-1
: (n-1)S^2 = n(X1-Xbar)^2/(n-1) + Σ W_i^2
: i=2
: 其中 W_i, i=1,...,n-1 是由 X1,...,Xn 做正交變換,變
: 成 √n(Xbar) 及 W_i, i=1,...,n-1. W_i ～ N(0,σ^2),
: i.i.d.
: 故
: [(n-1)/n] W_1^2
: Z1^2 = ------------------- = (n-1)^2/n Y
: (W_1^2 + U)/(n-1)
: 其中 U/σ^2 ～ χ^2(n-2) 且與 W1 獨立. 故
: Y～beta(1,n-2), E[Y] = 1/(n-1).
: 因此
: Var[Z1] = E[Z1^2] = (n-1)/n < 1.
: 另一方面, 在常態群體假設下, Z_2 中之 X, Xbar 與 S
: 相互獨立, 故
: Var[Z_2] = E[(X-Xbar)^2] E[1/S^2]
: = (1+1/n)σ^2 (n-1)/[(n-3)σ^2]
: = (n^2-1)/(n^2-3n) > 1
謝謝~~
不過有點看不太懂 @@"
1.為何要設 Z1, Z2?
2.為何 Var[Z1]<1, Var[Z2]>1 ? 是說 Var[Z]可能會是 1 左右的任何數嗎??
3.好像只處理到 variance, 而沒處理到 mean?
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