※ [本文轉錄自 Math 看板] 作者: yhliu (老怪物) 看板: Math 標題: Re: [問題] 期望值 時間: Sun May 29 20:18:55 2005 ※ 引述《flymath (flymath)》之銘言： : ※ [本文轉錄自 tutor 看板] : 作者: flymath (flymath) 看板: tutor : 標題: [問題] 期望值 : 時間: Sat May 28 22:44:23 2005 : 關於期望值 : 舉個例.. 紅球5顆..白球3顆..任取兩球..求紅球個數的期望值 : 一種說法是..先算取1顆紅球的期望值再乘以二 : 5/8 x 2 = 10/8 = 5/4 我想疑問只發生在這種算法, 第二種算法及後面的討論就 刪去以免太冗長. 題目是問 "紅球個數" 的期望值. 而如果把 "抽兩個球" 分解成兩次抽球, 每次得紅球的個 數是 0 或 1, 而兩次抽球的紅球總數,就是 "抽兩球得到 的紅球數". 因此, 令題目要計算期望值的紅球數為隨機變數 Y, 而兩 次抽球的紅球數分別是 X1, X2. 則 Y = X1 + X2. 如果高中有談到期望值公式 E[X1+X2] = E[X1] + E[X2], 那問題就解決了! Y=X1+X2, 當然得 E[Y]=E[X1]+E[X2]. 至於 "乘以 2" 是因 E[X1]=E[X2]. 但在 "抽出第一球後不放回" 而總球數有限的情況, 為甚 麼 E[X1]=E[X2] 還需要解釋一下. 事實上 "抽出後不放回" 會影響 "已知 X1 的結果時" X2 的條件機率; 但對 X2 的 "無條件機率" 不會有影響. 如果還沒講到 E[X1+X2] = E[X1] + E[X2] 這公式, 則需 向學生解釋這公式為甚麼會成立. 這其實只是根據一個基 本觀念: 期望值 是 各可能情形的目標值與其發生機率乘積和. 因此, E[X1+X2} 就是 (X1, X2) 各種組成之下 X1+X2 的 值與各該組成機率之和. 既然在每一種組成之下 左邊 = (X1+X2 的值) ×(這組 (X1,X2) 的機率) 右邊 = (X1 的值) ×(這組 (X1,X2) 的機率) +(X2 的值) ×(這組 (X1,X2) 的機率) 左右恆相等, 兩邊各自加總後結果當然也相等. 這樣的方法擴充到抽多次球, 甚至 X1, X2,...不是 0-1 隨機變數或其分布不同, 也是對的. 舉例來說: 假設 7-11 的 Hello Kitty 每一種都一樣多, 平均要蒐集幾份才能得到完整一整套31種? 令 Xi 代表蒐 集到第 i 種所需次數, 則 P[X1=1]=1 (即:第一份一定是 新的!) E[Xi] = 31/(32-i) 已蒐集 i-1 種, 要蒐集到第 i 種平均要再取得 31/(32-i) 份. 所以得要蒐集的 Hello Kitty 數 Y=X1+...+X36 的期望 值是 E[Y] = E[X1] + .... +E[X36] = 1 + 31/30 + 31/29 + .... + 31/1 = 31．(1/31+1/30+...+1) -- 來自統計專業的召喚... 批踢踢實業站 telnet://ptt.cc Statistics (統計學及統計軟體版) 無名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (統計方法討論區) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 交大資科次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) --

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