※ [本文转录自 Math 看板] 作者: yhliu (老怪物) 看板: Math 标题: Re: [问题] 期望值 时间: Sun May 29 20:18:55 2005 ※ 引述《flymath (flymath)》之铭言： : ※ [本文转录自 tutor 看板] : 作者: flymath (flymath) 看板: tutor : 标题: [问题] 期望值 : 时间: Sat May 28 22:44:23 2005 : 关於期望值 : 举个例.. 红球5颗..白球3颗..任取两球..求红球个数的期望值 : 一种说法是..先算取1颗红球的期望值再乘以二 : 5/8 x 2 = 10/8 = 5/4 我想疑问只发生在这种算法, 第二种算法及後面的讨论就 删去以免太冗长. 题目是问 "红球个数" 的期望值. 而如果把 "抽两个球" 分解成两次抽球, 每次得红球的个 数是 0 或 1, 而两次抽球的红球总数,就是 "抽两球得到 的红球数". 因此, 令题目要计算期望值的红球数为随机变数 Y, 而两 次抽球的红球数分别是 X1, X2. 则 Y = X1 + X2. 如果高中有谈到期望值公式 E[X1+X2] = E[X1] + E[X2], 那问题就解决了! Y=X1+X2, 当然得 E[Y]=E[X1]+E[X2]. 至於 "乘以 2" 是因 E[X1]=E[X2]. 但在 "抽出第一球後不放回" 而总球数有限的情况, 为甚 麽 E[X1]=E[X2] 还需要解释一下. 事实上 "抽出後不放回" 会影响 "已知 X1 的结果时" X2 的条件机率; 但对 X2 的 "无条件机率" 不会有影响. 如果还没讲到 E[X1+X2] = E[X1] + E[X2] 这公式, 则需 向学生解释这公式为甚麽会成立. 这其实只是根据一个基 本观念: 期望值 是 各可能情形的目标值与其发生机率乘积和. 因此, E[X1+X2} 就是 (X1, X2) 各种组成之下 X1+X2 的 值与各该组成机率之和. 既然在每一种组成之下 左边 = (X1+X2 的值) ×(这组 (X1,X2) 的机率) 右边 = (X1 的值) ×(这组 (X1,X2) 的机率) +(X2 的值) ×(这组 (X1,X2) 的机率) 左右恒相等, 两边各自加总後结果当然也相等. 这样的方法扩充到抽多次球, 甚至 X1, X2,...不是 0-1 随机变数或其分布不同, 也是对的. 举例来说: 假设 7-11 的 Hello Kitty 每一种都一样多, 平均要蒐集几份才能得到完整一整套31种? 令 Xi 代表蒐 集到第 i 种所需次数, 则 P[X1=1]=1 (即:第一份一定是 新的!) E[Xi] = 31/(32-i) 已蒐集 i-1 种, 要蒐集到第 i 种平均要再取得 31/(32-i) 份. 所以得要蒐集的 Hello Kitty 数 Y=X1+...+X36 的期望 值是 E[Y] = E[X1] + .... +E[X36] = 1 + 31/30 + 31/29 + .... + 31/1 = 31．(1/31+1/30+...+1) -- 来自统计专业的召唤... 批踢踢实业站 telnet://ptt.cc Statistics (统计学及统计软体版) 无名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (统计方法讨论区) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 交大资科次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) --

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