作者li7915566 (小傻瓜)
看板SENIORHIGH
標題[問題] 不用微積分 如何算三角函數和對數
時間Wed Apr 7 11:13:40 2021
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高中畢業很久了，也學得很爛，但突然想到一些疑問
sin30度=0.5=1/2
而查表可以得知
sin1=0.0175
2=0.0349
...
這個表怎麼來的？好像是用微積分算的？
那麼在微積分以前，又怎麼算？用多邊形去切？
最常見的兩種三角形30-60-90、45-45-90
馬上就知道sin30、60、45度
sin15度做圖後得r6-r2/4（r代表根號）
22.5度則是r(2-r2)/2
但是sin0度=0，90度=1，就不可能畫成三角形……
用弧度座標是畫得出來，不過對應的角度怎麼換算？
如邊長3-4-5，3/5=sin約36.87度
5-12-13，約22.62度，5/13很接近剛剛22.5度那堆根號
但接著7-24-25、8-15-17……還有辦法畫圖算嗎？
用量角器來量角度，那麼這個工具的1度、2度如何用手工做出來？
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說到查表，就會想到對數表
對數有點抽象，沒有圖片，我根本搞不清楚這是幹嘛的，又背不起來
直到幾年後，我看見一種尺，他下端從左到右是1到10，上端是10到1
下端1到2的距離，會等於上端10到5
用10的對數來看，2-1=10-5（省略log）
意義就是1*2=2，5*2=10（對應上例要寫成除法形式）
古代天文家乘除會用到對數表，因為數字很大
我就覺得很奇怪，直接乘除不可以嗎？
那時候我覺得查對數表反而比較複雜，怎麼用就要想老半天
現在知道 根號10=10^0.5=3.162
根號10*根號10=10^(0.5+0.5)=3.162*3.162=10
查表先找3.162和0.5這組關係
然後就知道小數點要怎麼點了
上面提到的尺，尺的正中間就是3.162，即根號10
根號10到1的距離，等於10到根號10的距離（10的對數距離就是0.5）
那麼對數表是怎麼做出來的呢？
10^0.5是3.162
10^(1/4)就是3.162再開平方=1.778（即1.778的4次方=10）
10^(1/8)，10^(1/16)也同理
手算平方根有個小技巧，用(a+b)^2公式
根號10的平方根在3～4之間（9～16）
3加1個0變成30，10加2個0，變成1000
(30+1)^2=900+30+30+1=961<1000
(31+1)^2=961+31+31+1=1024>1000
所以在3.1～3.2之間 然後
(310+1)^2=96100+310+310+1=96721<100000
311+1=96721+311+311+1=97344
312+1=97344+312+312+1=97969
...
知道了10^0.5和10^0.25，10^0.75就是
10^(0.5+0.25)=3.162*1.778=約5.622
精確的10^0.75是5.623
如果我要計算10的0.333次方，即是10^(1/3)
1/3=約1/4+1/16+1/64=21/64=0.328
10^(1/4)*10^(1/16)*10^(1/64)
=1.778*1.154*1.036=2.125
可是精確的10^(1/3)是2.154
誤差實在是很大，看起來不能用
10的0.333次方，不如算10的立方根？
即2.154^3=10
然後用線性插值估計對數？
像這樣粗糙的表要怎麼用手工做出來？
1 0
2 0.301
3 0.477
4 0.602
5 0.698
6 0.778
7 0.845
8 0.903
9 0.954
10 1
不用微積分，對數表是怎麼做出來的？
畢竟對數大約比微積分早100年出現
別忘了另一個問題
不用微積分，sin的表是怎麼做出來的？
畢竟sin比微積分早2000年出現
這篇文章不知不覺就打了一堆=.=
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1F：推 cal28802672: 對數 ：google納皮爾 04/07 12:10
https://ejournal.stpi.narl.org.tw/sd/download?sou
rce=10609-09.pdf&vlId=b83d500aaa6344b986b83d9c52d56f1e&nd=1&ds=1
按照這篇的做法，真數除以數個10^(2^-n)，然後把這幾個2^-n加起來，就是真數的對數
實際是這樣做嗎？
2F：推 cal28802672: 三角函數用根號 04/07 12:12
3F：→ cal28802672: Google 三角函數精確值 04/07 12:13
不知道是怎麼算的或畫的？
從60度開始畫半角，30、15、7.5、3.75、1.875、0.9375度
最接近sin1度應該是0.9375度？不過wiki只有1.875度，那一堆根號真煩人
如果從正多邊形畫，感覺也很複雜，我還沒想通正五邊形怎麼得出sin36度
畫圖法有辦法求出比如44度43 42...這樣整數的嗎？
勾股數可以拼成直角三角形，而且還是有理數，問題就會變成如何測量角度？
4F：→ JSD: ㄒㄦㄩ 04/07 14:46
5F：推 david0426: 泰勒展開式阿 04/07 15:44
6F：推 Lin25K: 泰勒不就要微分 04/07 16:16
只記得簡單的微分和積分，複習sin的泰勒後，問題就變成為何sin微分是cos？
然後就跑出一堆三角函數的公式和定義，每次看都覺得怪怪的
我比較喜歡看畫圖，這些公式畫得出來嗎？
https://blog.xuite.net/ygbird/blog/322571093
自製對數表
※ 編輯: li7915566 (36.239.149.215 臺灣), 04/08/2021 11:16:05