作者li7915566 (小傻瓜)
看板SENIORHIGH
标题[问题] 不用微积分 如何算三角函数和对数
时间Wed Apr 7 11:13:40 2021
是否同意文章被转至ptt站外(y/n):n
高中毕业很久了，也学得很烂，但突然想到一些疑问
sin30度=0.5=1/2
而查表可以得知
sin1=0.0175
2=0.0349
...
这个表怎麽来的？好像是用微积分算的？
那麽在微积分以前，又怎麽算？用多边形去切？
最常见的两种三角形30-60-90、45-45-90
马上就知道sin30、60、45度
sin15度做图後得r6-r2/4（r代表根号）
22.5度则是r(2-r2)/2
但是sin0度=0，90度=1，就不可能画成三角形……
用弧度座标是画得出来，不过对应的角度怎麽换算？
如边长3-4-5，3/5=sin约36.87度
5-12-13，约22.62度，5/13很接近刚刚22.5度那堆根号
但接着7-24-25、8-15-17……还有办法画图算吗？
用量角器来量角度，那麽这个工具的1度、2度如何用手工做出来？
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说到查表，就会想到对数表
对数有点抽象，没有图片，我根本搞不清楚这是干嘛的，又背不起来
直到几年後，我看见一种尺，他下端从左到右是1到10，上端是10到1
下端1到2的距离，会等於上端10到5
用10的对数来看，2-1=10-5（省略log）
意义就是1*2=2，5*2=10（对应上例要写成除法形式）
古代天文家乘除会用到对数表，因为数字很大
我就觉得很奇怪，直接乘除不可以吗？
那时候我觉得查对数表反而比较复杂，怎麽用就要想老半天
现在知道 根号10=10^0.5=3.162
根号10*根号10=10^(0.5+0.5)=3.162*3.162=10
查表先找3.162和0.5这组关系
然後就知道小数点要怎麽点了
上面提到的尺，尺的正中间就是3.162，即根号10
根号10到1的距离，等於10到根号10的距离（10的对数距离就是0.5）
那麽对数表是怎麽做出来的呢？
10^0.5是3.162
10^(1/4)就是3.162再开平方=1.778（即1.778的4次方=10）
10^(1/8)，10^(1/16)也同理
手算平方根有个小技巧，用(a+b)^2公式
根号10的平方根在3～4之间（9～16）
3加1个0变成30，10加2个0，变成1000
(30+1)^2=900+30+30+1=961<1000
(31+1)^2=961+31+31+1=1024>1000
所以在3.1～3.2之间 然後
(310+1)^2=96100+310+310+1=96721<100000
311+1=96721+311+311+1=97344
312+1=97344+312+312+1=97969
...
知道了10^0.5和10^0.25，10^0.75就是
10^(0.5+0.25)=3.162*1.778=约5.622
精确的10^0.75是5.623
如果我要计算10的0.333次方，即是10^(1/3)
1/3=约1/4+1/16+1/64=21/64=0.328
10^(1/4)*10^(1/16)*10^(1/64)
=1.778*1.154*1.036=2.125
可是精确的10^(1/3)是2.154
误差实在是很大，看起来不能用
10的0.333次方，不如算10的立方根？
即2.154^3=10
然後用线性插值估计对数？
像这样粗糙的表要怎麽用手工做出来？
1 0
2 0.301
3 0.477
4 0.602
5 0.698
6 0.778
7 0.845
8 0.903
9 0.954
10 1
不用微积分，对数表是怎麽做出来的？
毕竟对数大约比微积分早100年出现
别忘了另一个问题
不用微积分，sin的表是怎麽做出来的？
毕竟sin比微积分早2000年出现
这篇文章不知不觉就打了一堆=.=
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 122.121.106.55 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/SENIORHIGH/M.1617765223.A.49C.html
1F：推 cal28802672: 对数 ：google纳皮尔 04/07 12:10
https://ejournal.stpi.narl.org.tw/sd/download?sou
rce=10609-09.pdf&vlId=b83d500aaa6344b986b83d9c52d56f1e&nd=1&ds=1
按照这篇的做法，真数除以数个10^(2^-n)，然後把这几个2^-n加起来，就是真数的对数
实际是这样做吗？
2F：推 cal28802672: 三角函数用根号 04/07 12:12
3F：→ cal28802672: Google 三角函数精确值 04/07 12:13
不知道是怎麽算的或画的？
从60度开始画半角，30、15、7.5、3.75、1.875、0.9375度
最接近sin1度应该是0.9375度？不过wiki只有1.875度，那一堆根号真烦人
如果从正多边形画，感觉也很复杂，我还没想通正五边形怎麽得出sin36度
画图法有办法求出比如44度43 42...这样整数的吗？
勾股数可以拼成直角三角形，而且还是有理数，问题就会变成如何测量角度？
4F：→ JSD: ㄒㄦㄩ 04/07 14:46
5F：推 david0426: 泰勒展开式阿 04/07 15:44
6F：推 Lin25K: 泰勒不就要微分 04/07 16:16
只记得简单的微分和积分，复习sin的泰勒後，问题就变成为何sin微分是cos？
然後就跑出一堆三角函数的公式和定义，每次看都觉得怪怪的
我比较喜欢看画图，这些公式画得出来吗？
https://blog.xuite.net/ygbird/blog/322571093
自制对数表
※ 编辑: li7915566 (36.239.149.215 台湾), 04/08/2021 11:16:05