作者gba356 (瑪利歐)
看板SENIORHIGH
標題Re: [問題] 克普勒第三定律
時間Mon May 4 23:11:00 2009
※ 引述《y246hdse (土豆)》之銘言：
: 橢圓
: GM 4拍^R
: ------ = -------
: r^ T^
: 要導出 克普勒第三定律
: r三次方
: 不是要把r移到右邊 才會有 ------------ =定值
: T平方
: 但是橢圓軌道 左邊的r是距離 右邊的R是曲率半徑
: 為什麼導的出克普勒第三定律 ?
: (近日距離+遠日距離)
: 而且最後面導出的r是 -----------------------
: 2
: 為什麼?? 還是高中數學沒辦法解釋??
設近日點速率 v[1], 遠日點速率 v[2]，
橢圓半長軸 a, 半短軸 b, 焦距 c，則近日距 r[1] = a - c、遠日距 r[2] = a + c
r[1] * m * v[1] = r[2] * m * v[2] ...(1) （角動量守恆）
2 2
(1/2) * m * v[1] - GMm/(a-c) = (1/2) * m * v[2] - GMm/(a+c)...(2)
（能量守恆）
面積速率 = πab / T = (1/2)rvsinθ...(3)，其中 T 為週期 （克卜勒第二定律）
(1) 式整理可得
( v[1] - v[2] ) = (c/a)( v[1] + v[2] )...(4)
(2) 式整理可得
GMm
(1/2) * m * ( v[1] + v[2] )( v[1] - v[2]) = ──────...(5)
2 2
a - c
由 (3) 可得（近日、遠日處皆九十度，sinθ = 1）
v[1] = 2πab / T(a-c)...(6)
v[2] = 2πab / T(a+c)...(7)
2 2 2
將 (4) 代入 (5) 及橢圓性質 a - c = b
2 2
( v[1] + v[2] ) = 4GMa/b ...(8)
(6)、(7) 代入 (8)
2
( v[1] + v[2] )
2
2πab 2 4a 4GMa
= （─────） * （─────） = ─────
T 2 2
b b
得
2 3 2
4π a = GMT
即
3
a GM
──── = ────
2 2
T 4π
因為我那份講義弄丟了..
所以剛剛又重導了一次，
不知道有沒有出什麼問題..
剛剛忙著翻講義就推錯文啦，真是抱歉..
嗚嗚..那份講義弄丟了..我很心愛的講義耶..
這個證明給原 PO 參考啦，台大電機第二階段筆試考過兩次唷~
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