高中課本中會提到 x^2 y^2 雙曲線 ─ －─ ＝ 1 的參數式為 x＝asecθ , y＝btanθ a^2 b^2 2 2 不難理解 直接由 secθ－ tanθ＝1 再驗證secθ值域為 (-∞,-1]∪[1,∞) tanθ值域為 R 所以解題時直接使用是沒有問題的 大概只有賴打書這種程度的傢伙 會用挑剔θ幾何意義的方式來拒絕接受自己的失敗 不過也沒關係 如果一定要追根究底地問 究竟θ的幾何意義為何 可以參照這個比較清楚 這裡有圖 http://iask.sina.com.cn/b/4489787.html?from=related 雙曲線有另一種參數式 是使用 雙曲函數 x -x x -x e － e e ＋ e sinh(x)＝ ───── , cosh(x) ＝ ───── 2 2 e是自然對數的底 其值大約是 2.718281828459045 x x 其特色是 e 對x微分以後 仍是 e 這是 Euler 在做微分方程的問題時發現的 故取其第一個字母 e 來作為這個數的記號 雙曲函數與三角函數可類似地定義 sinh(x) 故 tanh(x)＝ ──── ... etc cosh(x) 2 2 依定義 不難驗證 cosh(x) － sinh(x)＝1 看 又是長這副德性 我們現在拿雙曲函數來當作雙曲線的參數式 (其實早在"雙曲函數"這名稱就爆雷了) 來討論 cosh(θ) 與 sinh(θ) 中 θ的幾何意義 剛剛說過雙曲函數與三角函數可類似地定義 在推導雙曲函數的半角、倍角等公式與導函數等等 皆可先寫下三角函數的公式 然後仿照地寫 皆是類似的 現在先來看三角函數的θ 我們知道 一個單位圓 可用 x＝cosθ , y＝sinθ 當參數式 因此三角函數又可稱之為圓函數 圓周上動點座標皆可以三角函數來表達 θ很顯然就是該動點所處之角度 等一下等一下 我們來看圓周上動點P 、 圓與正x軸的交點A 所圍成的扇形 ＿ ＿ ︵ 也就是說 OP、OA 和 PA 圍成的扇形 此扇形面積為 1/2 θ 因此 也可將θ改定義為：扇形OAP面積的兩倍 現在回來看雙曲線參數式 雙曲函數中的θ 右半邊的頂點 A 、 動點 P 與原點O θ正好就是 OAP 這塊區域的面積的兩倍 證明過程需用到積分 就先不寫了 -- 清大純牛肉，獨特醬料加生菜，起司洋蔥酸黃瓜，芝麻麵包蓋上去。 --

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