作者cktmac (五月飞雪)
看板SENIORHIGH
标题[讨论] 双曲线的参数式
时间Mon Apr 6 23:52:06 2009
高中课本中会提到
x^2 y^2
双曲线 ─ －─ ＝ 1 的参数式为 x＝asecθ , y＝btanθ
a^2 b^2
2 2
不难理解 直接由 secθ－ tanθ＝1
再验证secθ值域为 (-∞,-1]∪[1,∞)
tanθ值域为 R
所以解题时直接使用是没有问题的
大概只有赖打书这种程度的家伙 会用挑剔θ几何意义的方式来拒绝接受自己的失败
不过也没关系
如果一定要追根究底地问
究竟θ的几何意义为何
可以参照这个比较清楚 这里有图
http://iask.sina.com.cn/b/4489787.html?from=related
双曲线有另一种参数式
是使用 双曲函数
x -x x -x
e － e e ＋ e
sinh(x)＝ ───── , cosh(x) ＝ ─────
2 2
e是自然对数的底 其值大约是 2.718281828459045
x x
其特色是 e 对x微分以後 仍是 e
这是 Euler 在做微分方程的问题时发现的
故取其第一个字母 e 来作为这个数的记号
双曲函数与三角函数可类似地定义
sinh(x)
故 tanh(x)＝ ──── ... etc
cosh(x)
2 2
依定义 不难验证 cosh(x) － sinh(x)＝1
看 又是长这副德性
我们现在拿双曲函数来当作双曲线的参数式 (其实早在"双曲函数"这名称就爆雷了)
来讨论 cosh(θ) 与 sinh(θ) 中 θ的几何意义
刚刚说过双曲函数与三角函数可类似地定义
在推导双曲函数的半角、倍角等公式与导函数等等
皆可先写下三角函数的公式 然後仿照地写 皆是类似的
现在先来看三角函数的θ
我们知道 一个单位圆 可用 x＝cosθ , y＝sinθ 当参数式
因此三角函数又可称之为圆函数
圆周上动点座标皆可以三角函数来表达
θ很显然就是该动点所处之角度
等一下等一下
我们来看圆周上动点P 、 圆与正x轴的交点A 所围成的扇形
＿ ＿ ︵
也就是说 OP、OA 和 PA 围成的扇形
此扇形面积为 1/2 θ
因此 也可将θ改定义为：扇形OAP面积的两倍
现在回来看双曲线参数式
双曲函数中的θ
右半边的顶点 A 、 动点 P 与原点O
θ正好就是 OAP 这块区域的面积的两倍
证明过程需用到积分 就先不写了
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清大纯牛肉，独特酱料加生菜，起司洋葱酸黄瓜，芝麻面包盖上去。
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◆ From: 140.112.243.42
1F：推 blueberrypie:原来双曲线的参数式是用 sec 跟 tan...学到一课 04/06 23:55
2F：→ lovehan:一楼的老师没教吗? 0.0a 04/06 23:56
3F：→ blueberrypie:我们老师说到椭圆就够了！加上我们对三角函数实在也 04/06 23:57
4F：→ blueberrypie:没辄= ="...所以他就没讲双曲线了...教材也没有 04/06 23:58
5F：推 ManInBlack:要搞到e就没意思了，还是sec和tan亲切（笑） 04/06 23:58
6F：→ lovehan:习惯就好 高中老师都嘛这样... 04/06 23:59
7F：→ blueberrypie:就连椭圆我们能尽量用动点代替的都尽量不用参数式... 04/07 00:00
8F：→ blueberrypie:因为讲了，大概会有部分的人听不懂三角的部份= ="... 04/07 00:01
9F：→ lovehan:该讲的还是要讲 比较好 不然以後微积分还是会用到... 04/07 00:02
10F：推 DrKoh:九五暂纲似乎已不提及圆锥曲线的参数式了 04/07 00:02
11F：→ blueberrypie:双曲线主要是因为教材里面没有，我们又文组的...，他 04/07 00:03
12F：→ blueberrypie:就想说不用了吧！ 04/07 00:03
13F：→ blueberrypie:有圆跟椭圆... 04/07 00:03
14F：推 lovehan:商科还是要念微积分 除非打死走文或法 XD 04/07 00:04
15F：→ DrKoh:蓝莓用哪一版教科书 04/07 00:04
16F：→ blueberrypie:南一吧...大概...= ="...数学课本很久不见了... 04/07 00:05
17F：→ lovehan:万一想不开要转考 一样要念到理工程度... 04/07 00:05
18F：→ blueberrypie:印象中是南一 04/07 00:05
19F：→ blueberrypie:喔...是喔！不过我想如果我走文的，大概就很难会想转 04/07 00:06
20F：→ blueberrypie:了= ="...不用碰数学是重点... 04/07 00:06
21F：→ blueberrypie:不过如果一开始就走商又不一样了...^^ 04/07 00:07
22F：推 gba356:老师不提双曲线参数式是正确的，因为他的几何意义要用 04/07 16:23
23F：→ gba356:微积分解释，会变得先知道结果，两年後才学推导 04/07 16:23
24F：推 hsnulight:原po是刚好上到Parametric Curves吗 XD 04/07 19:57
25F：→ cktmac:no, 是看到清大纯牛肉连这也不会 04/07 22:06