標題：微分方程與微分算子 本篇作於pttMath版 目的：希望提供一些學生微分方程方面的看法。 本文： 在此我想回答一些網友(非數學專業的)關於微分算子與微分方程的一些概念。 微分方程的問題開始主要是來自於自然哲學(物理學)，不管是常微分方程，或是偏 微分方程。 假設x(t)表直點的位置與時間的關係，令v(t)表速度與位置的關係，那麼 x'(t)=v(t) x(0)=p 描述了此物體的運動現象，而這是最簡單的微分方程。隨著各類科學的發展，微分 方程的內容也變得更多樣性了。從簡單的一次線性微分方程，發展到了高階非線性 微分方程，通常我們可以用以下的微分方程來描述所有的微分方程： x'(t) =f(t,x) x(0)=p (x可以是向量值，可以是純量)。而f是一個實質或向量值的函數。 我們必須思考，這樣的問題是否真的可以解？如果解本身是不存在的，那麼何 來去解他呢？但，事實上，在微分方程的歷史中，剛開始數學家都是一股腦兒的用 很多特殊的技巧去解方程，而非先證明解的存在性。然而，能夠用一些初等技巧解 決的方程是少之又少。於是，數學家陷入了瓶頸。 在方程的歷史中，有一樣驚人的的創作，是出自於富利葉之手的，利用三角級 數解決熱傳導的問題。當然，在那之前，數學家也思考用解析(冪級數)的方式去解 微分方程的問題。只是，這樣做以現今數學來看，是相當不嚴謹的。然而，我們也 不得不佩服前人的智慧。另外一個著名的作品就是出自於Volterra之手，就是他利 用方程的方法去研究生物生態學，(是他的一位好友讓他去研究義大利附近的海域魚 群的生態)。接下來，微分方程漸漸地以一種專門的研究出現在數學的領域中。在那 之前，數學家並不會專門的去研究方程，而是在致力於解決某一類的問題，如來自 物理學的，來自於化學的，或是來自於幾何學等等的。 後來，Fredeholm研究積分方程，並且提供了線性代數的方法解決積分方程的問 題。而這也讓微分方程有了另外一種新的觀點(似乎並不是新的觀點)去看待。當然 在那同時期，恰巧是量子物理學正大肆橫掃古典物理的革命時期。積分方程，微分方 程，到了Hilbert的手中，漸漸的融合成現今的泛函分析的起源。而解決微分方程， 就用了線性代數的觀點，就是算子的概念。回到我們之前的問題。 x'(t) = v(t) x(0)=p 首先我們必須考慮的是：我們想研究的函數x(t)是屬於麼樣的函數？連續？可微？時 間的區間？解是否存在？如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映 射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？所有的可微分函數？連續的可微分函數？ 我們當然可以很簡單的說: D^(-1){v} 是微分算子D的preimage，但是，那必須在一個前提之下，D所定義的空間被決定。當 然D所定義的空間仰賴於我們所希望研究的空間。(註:利用泛函分析的方法並不是唯 一研究方程的方法，而是他提供了一套有系統的研究方法)。因為，並不是任何的空 間對我們來說都是有意義的。這也是為何會利用到Hilbert空間，或是Banach空間的 理由。因為在量子物理中，粒子所存在的空間就是Hilbert空間L^2(R)，或是L^2[a,b]。 而微分算子所定義的空間就是所謂的Sobolev空間。D的意義就給的更清楚了。 然而在解方程的過程中，如給定a,b,c是連續函數 a(x)y"(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x) y(0)=0, y'(0)=1. 那麼微分算子(泛函分析)並不是一個簡單的方式去解決這樣的問題，而且是更加 的複雜。(對某些問題來說)，而一般工程數學上所謂的D指的並不是微分算子，是所 謂的符號數學(Symbolic math)。利用某些觀念，或是符號可以幫助我們去解決問題， 就如同前面有網友說的heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面， 他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwarz拿fields medal的得意之作。 他們並不是不嚴謹，而是他們的背景並不是很容易，如果避掉了這些理論，用符號運 算去解決方程，的確是一個方便的工具。 --

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