标题：微分方程与微分算子 本篇作於pttMath版 目的：希望提供一些学生微分方程方面的看法。 本文： 在此我想回答一些网友(非数学专业的)关於微分算子与微分方程的一些概念。 微分方程的问题开始主要是来自於自然哲学(物理学)，不管是常微分方程，或是偏 微分方程。 假设x(t)表直点的位置与时间的关系，令v(t)表速度与位置的关系，那麽 x'(t)=v(t) x(0)=p 描述了此物体的运动现象，而这是最简单的微分方程。随着各类科学的发展，微分 方程的内容也变得更多样性了。从简单的一次线性微分方程，发展到了高阶非线性 微分方程，通常我们可以用以下的微分方程来描述所有的微分方程： x'(t) =f(t,x) x(0)=p (x可以是向量值，可以是纯量)。而f是一个实质或向量值的函数。 我们必须思考，这样的问题是否真的可以解？如果解本身是不存在的，那麽何 来去解他呢？但，事实上，在微分方程的历史中，刚开始数学家都是一股脑儿的用 很多特殊的技巧去解方程，而非先证明解的存在性。然而，能够用一些初等技巧解 决的方程是少之又少。於是，数学家陷入了瓶颈。 在方程的历史中，有一样惊人的的创作，是出自於富利叶之手的，利用三角级 数解决热传导的问题。当然，在那之前，数学家也思考用解析(幂级数)的方式去解 微分方程的问题。只是，这样做以现今数学来看，是相当不严谨的。然而，我们也 不得不佩服前人的智慧。另外一个着名的作品就是出自於Volterra之手，就是他利 用方程的方法去研究生物生态学，(是他的一位好友让他去研究义大利附近的海域鱼 群的生态)。接下来，微分方程渐渐地以一种专门的研究出现在数学的领域中。在那 之前，数学家并不会专门的去研究方程，而是在致力於解决某一类的问题，如来自 物理学的，来自於化学的，或是来自於几何学等等的。 後来，Fredeholm研究积分方程，并且提供了线性代数的方法解决积分方程的问 题。而这也让微分方程有了另外一种新的观点(似乎并不是新的观点)去看待。当然 在那同时期，恰巧是量子物理学正大肆横扫古典物理的革命时期。积分方程，微分方 程，到了Hilbert的手中，渐渐的融合成现今的泛函分析的起源。而解决微分方程， 就用了线性代数的观点，就是算子的概念。回到我们之前的问题。 x'(t) = v(t) x(0)=p 首先我们必须考虑的是：我们想研究的函数x(t)是属於麽样的函数？连续？可微？时 间的区间？解是否存在？如果我们把微分的过程视为由一个空间至另外一个空间的映 射，那麽这样的空间是属於哪样的空间呢？所有的可微分函数？连续的可微分函数？ 我们当然可以很简单的说: D^(-1){v} 是微分算子D的preimage，但是，那必须在一个前提之下，D所定义的空间被决定。当 然D所定义的空间仰赖於我们所希望研究的空间。(注:利用泛函分析的方法并不是唯 一研究方程的方法，而是他提供了一套有系统的研究方法)。因为，并不是任何的空 间对我们来说都是有意义的。这也是为何会利用到Hilbert空间，或是Banach空间的 理由。因为在量子物理中，粒子所存在的空间就是Hilbert空间L^2(R)，或是L^2[a,b]。 而微分算子所定义的空间就是所谓的Sobolev空间。D的意义就给的更清楚了。 然而在解方程的过程中，如给定a,b,c是连续函数 a(x)y"(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x) y(0)=0, y'(0)=1. 那麽微分算子(泛函分析)并不是一个简单的方式去解决这样的问题，而且是更加 的复杂。(对某些问题来说)，而一般工程数学上所谓的D指的并不是微分算子，是所 谓的符号数学(Symbolic math)。利用某些观念，或是符号可以帮助我们去解决问题， 就如同前面有网友说的heaviside function或是Dirac function。其实在数学里面， 他的背景就是Distribution theory。而这正是Schwarz拿fields medal的得意之作。 他们并不是不严谨，而是他们的背景并不是很容易，如果避掉了这些理论，用符号运 算去解决方程，的确是一个方便的工具。 --

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