※ 引述《annunaki (空空散人)》之銘言： : 他還相信你能夠理解形式證明出來的定理有時候對具體問題能給出構造解，代數 : 課常常會要求你實際上這樣做，像是分析裡面做得一些事情在其他應用領域（ : e.g.統計:P）其實常常要求你要具體算出來，這時候你就得有這種能力。 : 最後他假定你能夠從幾項對於數學物件的抽象刻劃中學到東西，也就是他所寫出的 : 定理們確實能夠讓你具備闡述一些數學物件的非顯然性質，像是對於某些物件進行 : 分類（e.g.黎曼面, metric vector space）、分解（e.g. monotone functions） : 、逼近（e.g. Sobolev space）......etc. : 所以基本上你在數學系得做這些事情：寫形式證明、用大定理和一些技巧計算具體 : 問題、更進一步刻劃某些類別的物件的特徵。 : 如果你只喜歡計算，恐怕你不會喜歡數學，如果你希望逃避計算（像我xD），那我 : 想你會發現最後還是逃避不了。 接著A版大的話。 學數學很多人都會迷失於符號，定理中。一開始數學在發展的時候，都是以相當容易 理解的想法去做定義。大家或許會被這些專有名詞給嚇到了，千萬別害怕，我舉幾個 例子，大家就會知道，數學其實有他簡單的概念在。 幾個例子來說，何謂黎曼面？如果要以很好聽的數學術語來講，其定義為： One dimensional complex manifold, or two dimensional real manifold with complex structure. 一堆奇奇怪怪的術語，dimension, manifold, structure... 學數學要用例子去看，不要被定義與術語使你們迷失。 舉個高中生也能懂得例子，球面 x^2 +y^2 +z^2=1，他就是最簡單的黎曼面。 如果以高等微積分，或者拓樸的術語來說，他是緊致的。但如果以高中生能懂 得話來說呢？很簡單，所謂的緊致（由於流形能鑲嵌於任意的歐氏空間，並且 保持距離不變，這是偉大的數學家John Nash的著名定理）就是一個封閉的有界 集合。所謂的有界，就是他是有範圍的。所謂的封閉，就是取球面上的點，不管 怎麼跑，都還是會落在這個球面上（除非有外力）。所謂的曲面，請各位回想一 下地球，是不是在地球的表面上，你會覺得自己是在平面，不是在彎曲的球上呢？ （除了你搭外太空船，或者是到101大樓上去，才發現原來地球是彎曲的）。 所以我們定義了： (二維)曲面：假想人是活在這個世界上，會覺得自己是在平坦的空間中，但實際上 並不是，他是很多個平坦的平面黏貼起來的。這樣的空間會有座標的 概念。舉例來說，我們有經度跟緯度。經度跟緯度就是一種座標呀！ x^2+y^2+z^2= 1就是用經度跟緯度去描述的。 緊致(Compact)：他會活在一個範圍之內，是有界的，也就是距離是有限的。 並且他是封閉的。 封閉：請各位同學還是會想地球的例子，如果你跑在地球上，是不是跑不出去地球呢？ 除非有人把你拉離了地平線。封閉就是這樣的一個概念，不管你怎麼跑，除非 有外力，否則你是跑不出地球這個範圍的。 以上都是「拓樸」的範疇。如果大家被數學名詞嚇到了，肯定看不出他好玩的 地方在哪。 在相對論中，會提到協變微分。看到這個名字很嚇人呀！A版大也有提到Intrinsic 這個名字。但是，各位，千萬別害怕。我用很簡單的方式跟各位介紹。 intrinsic：翻譯為內在的。 我們還是回到地球的例子。我們在地球上所做的一切運動都是內在的（除非利用了 能源，用了太空船），一般的跑步，運動都是內在的行為。所謂的不是內在的，就是 利用太空船或其他力量離開地球表面的活動。所以，只要一直在地球表面活動而不離開 地球表面，我們都稱為內在。 協變微分更好玩。微分就是研究變化率的一個方法，所謂的協變微分，講的就是內 在的微分。也就是說，研究一切在地球表面上的變化，就可稱為協變微分。如果脫離了 地球，就不是協變微分。 請記得，不要被名字嚇到了。要仔細的去想他的意義所在。 在打個比方，代數拓樸中的同調群，其實可以用高中生就能懂得方法可以解釋。因 為發明同調群的人，想法是相當簡單的。 記得以前高中還有所謂的補充教材。裡面有提了V-E+F=2。V是頂點，E是邊，F是面 的數量。這是著名的由拉公式(Euler formula)。 同調群，便是去計算一些多邊形或多面體的"點，線，面"的一些數量所產生的東西。 進而去計算更一般的集合（或所謂的拓樸空間）。我們可以把球面用三角形的方式填出 來。（當然這三角形並不一定是直線構成的，是曲線。）這是所謂的三角剖分 (Triangulation)。同調群就是透過三角剖分所定義出來的量。 打個比方，三角形ABC是由點A,B,C與邊AB,BC,CA所構成。考慮任意的整數m,n,k 我們會考慮 m AB + n BC +k CA的組合(稱為一個鏈chain)。我們可以定義邊長的邊界 映射d，檢而言之，任意向量PQ，其邊界映射為 δ (PQ) = Q - P 其實就是把向量PQ送到他的邊界，邊界就是頂點P,Q。（這是高二數學對吧)所以任意一個 chain的邊界會長怎樣呢？ δ(m AB + n BC +k CA) =m(B-A)+n(C-B)+k(A-C) =(k-m)A + (m-n)B +(n-k)C 如果把邊界送到原點（各位同學可以想一下三個點連線出來剛好是原點是有意義的吧！） ，我們發現 k=m=n。其實就是所謂的cycle(循環)。循環就長這樣： A→B→C→A或者是 m(AB+BC+CA)，其中m是整數。 所以他同調群是整數。 取 x^2 +y^2 =1，在平面上為一個圓。在此圓上任取三個點P,Q,R我們有PQ弧,QR弧 RP弧。一樣可以定義 m PQ +nQR +kRQ。去計算一些數。我們發現，圓的同調群一樣也 是正整數。 所以我們會去思考，圓跟三角形是不是有某種關係呢？ 講個數學的術語：圓與三角形同胚。（其實是由同胚得到同調群相等。） 所謂的拓樸就是在研究集合之間的關係。看似不同的兩個東西，在某種"結構"上 是相同的。 所以，拓樸主要是在分類不同的空間關係。 今天的幾何與拓樸課程暫時上到這裡，有機會再繼續介紹吧！ --

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