※ 引述《annunaki (空空散人)》之铭言： : 他还相信你能够理解形式证明出来的定理有时候对具体问题能给出构造解，代数 : 课常常会要求你实际上这样做，像是分析里面做得一些事情在其他应用领域（ : e.g.统计:P）其实常常要求你要具体算出来，这时候你就得有这种能力。 : 最後他假定你能够从几项对於数学物件的抽象刻划中学到东西，也就是他所写出的 : 定理们确实能够让你具备阐述一些数学物件的非显然性质，像是对於某些物件进行 : 分类（e.g.黎曼面, metric vector space）、分解（e.g. monotone functions） : 、逼近（e.g. Sobolev space）......etc. : 所以基本上你在数学系得做这些事情：写形式证明、用大定理和一些技巧计算具体 : 问题、更进一步刻划某些类别的物件的特徵。 : 如果你只喜欢计算，恐怕你不会喜欢数学，如果你希望逃避计算（像我xD），那我 : 想你会发现最後还是逃避不了。 接着A版大的话。 学数学很多人都会迷失於符号，定理中。一开始数学在发展的时候，都是以相当容易 理解的想法去做定义。大家或许会被这些专有名词给吓到了，千万别害怕，我举几个 例子，大家就会知道，数学其实有他简单的概念在。 几个例子来说，何谓黎曼面？如果要以很好听的数学术语来讲，其定义为： One dimensional complex manifold, or two dimensional real manifold with complex structure. 一堆奇奇怪怪的术语，dimension, manifold, structure... 学数学要用例子去看，不要被定义与术语使你们迷失。 举个高中生也能懂得例子，球面 x^2 +y^2 +z^2=1，他就是最简单的黎曼面。 如果以高等微积分，或者拓朴的术语来说，他是紧致的。但如果以高中生能懂 得话来说呢？很简单，所谓的紧致（由於流形能镶嵌於任意的欧氏空间，并且 保持距离不变，这是伟大的数学家John Nash的着名定理）就是一个封闭的有界 集合。所谓的有界，就是他是有范围的。所谓的封闭，就是取球面上的点，不管 怎麽跑，都还是会落在这个球面上（除非有外力）。所谓的曲面，请各位回想一 下地球，是不是在地球的表面上，你会觉得自己是在平面，不是在弯曲的球上呢？ （除了你搭外太空船，或者是到101大楼上去，才发现原来地球是弯曲的）。 所以我们定义了： (二维)曲面：假想人是活在这个世界上，会觉得自己是在平坦的空间中，但实际上 并不是，他是很多个平坦的平面黏贴起来的。这样的空间会有座标的 概念。举例来说，我们有经度跟纬度。经度跟纬度就是一种座标呀！ x^2+y^2+z^2= 1就是用经度跟纬度去描述的。 紧致(Compact)：他会活在一个范围之内，是有界的，也就是距离是有限的。 并且他是封闭的。 封闭：请各位同学还是会想地球的例子，如果你跑在地球上，是不是跑不出去地球呢？ 除非有人把你拉离了地平线。封闭就是这样的一个概念，不管你怎麽跑，除非 有外力，否则你是跑不出地球这个范围的。 以上都是「拓朴」的范畴。如果大家被数学名词吓到了，肯定看不出他好玩的 地方在哪。 在相对论中，会提到协变微分。看到这个名字很吓人呀！A版大也有提到Intrinsic 这个名字。但是，各位，千万别害怕。我用很简单的方式跟各位介绍。 intrinsic：翻译为内在的。 我们还是回到地球的例子。我们在地球上所做的一切运动都是内在的（除非利用了 能源，用了太空船），一般的跑步，运动都是内在的行为。所谓的不是内在的，就是 利用太空船或其他力量离开地球表面的活动。所以，只要一直在地球表面活动而不离开 地球表面，我们都称为内在。 协变微分更好玩。微分就是研究变化率的一个方法，所谓的协变微分，讲的就是内 在的微分。也就是说，研究一切在地球表面上的变化，就可称为协变微分。如果脱离了 地球，就不是协变微分。 请记得，不要被名字吓到了。要仔细的去想他的意义所在。 在打个比方，代数拓朴中的同调群，其实可以用高中生就能懂得方法可以解释。因 为发明同调群的人，想法是相当简单的。 记得以前高中还有所谓的补充教材。里面有提了V-E+F=2。V是顶点，E是边，F是面 的数量。这是着名的由拉公式(Euler formula)。 同调群，便是去计算一些多边形或多面体的"点，线，面"的一些数量所产生的东西。 进而去计算更一般的集合（或所谓的拓朴空间）。我们可以把球面用三角形的方式填出 来。（当然这三角形并不一定是直线构成的，是曲线。）这是所谓的三角剖分 (Triangulation)。同调群就是透过三角剖分所定义出来的量。 打个比方，三角形ABC是由点A,B,C与边AB,BC,CA所构成。考虑任意的整数m,n,k 我们会考虑 m AB + n BC +k CA的组合(称为一个链chain)。我们可以定义边长的边界 映射d，检而言之，任意向量PQ，其边界映射为 δ (PQ) = Q - P 其实就是把向量PQ送到他的边界，边界就是顶点P,Q。（这是高二数学对吧)所以任意一个 chain的边界会长怎样呢？ δ(m AB + n BC +k CA) =m(B-A)+n(C-B)+k(A-C) =(k-m)A + (m-n)B +(n-k)C 如果把边界送到原点（各位同学可以想一下三个点连线出来刚好是原点是有意义的吧！） ，我们发现 k=m=n。其实就是所谓的cycle(循环)。循环就长这样： A→B→C→A或者是 m(AB+BC+CA)，其中m是整数。 所以他同调群是整数。 取 x^2 +y^2 =1，在平面上为一个圆。在此圆上任取三个点P,Q,R我们有PQ弧,QR弧 RP弧。一样可以定义 m PQ +nQR +kRQ。去计算一些数。我们发现，圆的同调群一样也 是正整数。 所以我们会去思考，圆跟三角形是不是有某种关系呢？ 讲个数学的术语：圆与三角形同胚。（其实是由同胚得到同调群相等。） 所谓的拓朴就是在研究集合之间的关系。看似不同的两个东西，在某种"结构"上 是相同的。 所以，拓朴主要是在分类不同的空间关系。 今天的几何与拓朴课程暂时上到这里，有机会再继续介绍吧！ --

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