甚麼是高等微積分?為何微積分要區分高等與初等?簡而言之，在於函數所定義 的空間。初等微積分考慮函數的空間通常為實數，或平面與三維空間。而高等微積 分的範疇，正是把函數所考慮的空間推廣到更一般的集合。 微積分最重要的概念便是極限。數列與級數的極限，黎曼和的極限，函數的差 的極限等等。在高等微積分，一開始介紹有限維的歐氏空間的拓墣，也就是在R^n 空間中定義所謂的極限的概念。進而將極限的概念推廣到一般的非空集合，概念的 推廣就有賴於距離的定義。所謂的開集合，閉集合均是在告訴我們點的分布情況， 怎麼去描述極限的行為。而緊緻集合的概念來自於實數線上閉區間，一個有界的點 列，必存在收斂子列。而緊緻集合是更一般的空間裡，具有這樣概念的集合。所謂 的不連通集合，就是可以區別出兩種以上不同的拓樸的集合。在kelly的拓樸學書 中提到給集合的拓樸，等價於在此集合上面定義極限的概念。此極限的概念是用所 謂的網(Net)，比點列更一般的函數。至此，我們理解了空間上的極限概念之後， 我們便要開始去探討，所謂的連續函數。在此之前，我們也會探討空間的完備性。 空間完備性指的是哥西列收斂。收斂數列為一哥西列，但哥西列在某些空間上未必 是收斂。只有在所謂的完備空間上，哥西列才會收斂(這也是完備空間的定義。)。 我們考慮完備空間，便是需要極限，微分與積分都需要極限。 從連續函數出發，我們可以得到很多重要的概念。例如:所有定義在[0,1]上的 連續函數將構成一個向量空間，此向量空間恰巧可以定義距離，此距離使此向量空 間成為一個完備的距離空間。完備的賦距(normed space)稱為Banach空間。此空間 有很好的性質，任意一個函數，均可用多項式作逼近，也可以用三角級數逼近，我 們更可以問，甚麼樣的子集中的點可以逼近任意一個函數呢?如果他是這個空間的 子代數，並且裡面的點均可區分出[0,1]的點，1屬於此代數，便可。這是高等微積 分中一個重要的定理，Stone-Weiertrass定理。我們要怎麼描述此空間的緊緻集合 呢?如果此集合式閉集合，所有的函數均為一致有界，再加上所有的函數都是等度 連續(equi-continuous)，則此集合為C([0,1])上的緊緻集合。這個重要的定理稱為 Arzela-Ascoli定理，是Bolzano-Weiertrass定理無限維的推廣。如果老師此時給 個題外話，C([0,1])是一個Integral domain，而他的(closed) Ideal會長怎樣呢? maximal ideal又長怎樣呢?清華在很早之前考過這樣一個問題，形如 I={f:f(c)=0,c為[0,1]中的點} 為C([0,1])的Maximal ideal。由一個著名的代數定理可知，C([0,1])/I為一個體， 這個體與複數體C同構。 連續函數擁有很多好玩的性質。有些老師在上到這個範圍之後，接著便會開始 介紹有界變差函數(Function of Bounded Variation)。從此定義出更廣義的積分概 念。有界變差函數將銜接實分析中的測度論。有界變差函數通常是某種測度的分佈函 數，在此不加詳述。 接著便開始進入微分的章節，在Banach空間上面定義微分的概念。大部分的書 都會從歐氏空間出發。研究可微分函數的性質。這個章節最重要的兩個定理:反函數 定理與隱函數定理，便是研究非線性方程局部的可解性問題。透過隱函數定理，與 線性代數的結果，可以得到拉葛朗日乘數法，也就是函數在有限制條件下的極值問 題。然後將討論函數的解析性質，泰勒展開等等。在證明反函數定理之前，會提到 所謂的壓縮映射定理，此定理恰可用來證明微分方程解的唯一性定理。有些書還會 提到函數奇點的分類，最著名的就是Morse定理。 透過隱函數定理，我們可以得到空間中的維度與曲面的概念。便可以透過線性 代數的方法，在區面上做微積分。而微分形式(differential form)，便是利用張量 的方式來處理曲面上的微積分。較為深入的曲率概念將會在幾何學課程中談及。高 等微積分的領域，只會提到幾個重要的定理，Stokes, Gauss, Green定理等等。雖 然在微積分中就已經學過這些概念，然而以微分形式的方式來談，是較為不同的。 最後一個部分是複立業分析。複立業分析，以線性代數的說法，就是在內積空 間上找基底。在平方可積分的空間中定義出內積的概念。內積可以定義出距離，如 果此內積空間一樣也是完備空間，我們稱此空間為希爾伯特空間。在高等微積分的 內容中，只會提及計算，如何求複立業係數或是複立業積分等。 以上大概就是高等微積分普遍會包含的內容。 --

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