甚麽是高等微积分?为何微积分要区分高等与初等?简而言之，在於函数所定义 的空间。初等微积分考虑函数的空间通常为实数，或平面与三维空间。而高等微积 分的范畴，正是把函数所考虑的空间推广到更一般的集合。 微积分最重要的概念便是极限。数列与级数的极限，黎曼和的极限，函数的差 的极限等等。在高等微积分，一开始介绍有限维的欧氏空间的拓墣，也就是在R^n 空间中定义所谓的极限的概念。进而将极限的概念推广到一般的非空集合，概念的 推广就有赖於距离的定义。所谓的开集合，闭集合均是在告诉我们点的分布情况， 怎麽去描述极限的行为。而紧致集合的概念来自於实数线上闭区间，一个有界的点 列，必存在收敛子列。而紧致集合是更一般的空间里，具有这样概念的集合。所谓 的不连通集合，就是可以区别出两种以上不同的拓朴的集合。在kelly的拓朴学书 中提到给集合的拓朴，等价於在此集合上面定义极限的概念。此极限的概念是用所 谓的网(Net)，比点列更一般的函数。至此，我们理解了空间上的极限概念之後， 我们便要开始去探讨，所谓的连续函数。在此之前，我们也会探讨空间的完备性。 空间完备性指的是哥西列收敛。收敛数列为一哥西列，但哥西列在某些空间上未必 是收敛。只有在所谓的完备空间上，哥西列才会收敛(这也是完备空间的定义。)。 我们考虑完备空间，便是需要极限，微分与积分都需要极限。 从连续函数出发，我们可以得到很多重要的概念。例如:所有定义在[0,1]上的 连续函数将构成一个向量空间，此向量空间恰巧可以定义距离，此距离使此向量空 间成为一个完备的距离空间。完备的赋距(normed space)称为Banach空间。此空间 有很好的性质，任意一个函数，均可用多项式作逼近，也可以用三角级数逼近，我 们更可以问，甚麽样的子集中的点可以逼近任意一个函数呢?如果他是这个空间的 子代数，并且里面的点均可区分出[0,1]的点，1属於此代数，便可。这是高等微积 分中一个重要的定理，Stone-Weiertrass定理。我们要怎麽描述此空间的紧致集合 呢?如果此集合式闭集合，所有的函数均为一致有界，再加上所有的函数都是等度 连续(equi-continuous)，则此集合为C([0,1])上的紧致集合。这个重要的定理称为 Arzela-Ascoli定理，是Bolzano-Weiertrass定理无限维的推广。如果老师此时给 个题外话，C([0,1])是一个Integral domain，而他的(closed) Ideal会长怎样呢? maximal ideal又长怎样呢?清华在很早之前考过这样一个问题，形如 I={f:f(c)=0,c为[0,1]中的点} 为C([0,1])的Maximal ideal。由一个着名的代数定理可知，C([0,1])/I为一个体， 这个体与复数体C同构。 连续函数拥有很多好玩的性质。有些老师在上到这个范围之後，接着便会开始 介绍有界变差函数(Function of Bounded Variation)。从此定义出更广义的积分概 念。有界变差函数将衔接实分析中的测度论。有界变差函数通常是某种测度的分布函 数，在此不加详述。 接着便开始进入微分的章节，在Banach空间上面定义微分的概念。大部分的书 都会从欧氏空间出发。研究可微分函数的性质。这个章节最重要的两个定理:反函数 定理与隐函数定理，便是研究非线性方程局部的可解性问题。透过隐函数定理，与 线性代数的结果，可以得到拉葛朗日乘数法，也就是函数在有限制条件下的极值问 题。然後将讨论函数的解析性质，泰勒展开等等。在证明反函数定理之前，会提到 所谓的压缩映射定理，此定理恰可用来证明微分方程解的唯一性定理。有些书还会 提到函数奇点的分类，最着名的就是Morse定理。 透过隐函数定理，我们可以得到空间中的维度与曲面的概念。便可以透过线性 代数的方法，在区面上做微积分。而微分形式(differential form)，便是利用张量 的方式来处理曲面上的微积分。较为深入的曲率概念将会在几何学课程中谈及。高 等微积分的领域，只会提到几个重要的定理，Stokes, Gauss, Green定理等等。虽 然在微积分中就已经学过这些概念，然而以微分形式的方式来谈，是较为不同的。 最後一个部分是复立业分析。复立业分析，以线性代数的说法，就是在内积空 间上找基底。在平方可积分的空间中定义出内积的概念。内积可以定义出距离，如 果此内积空间一样也是完备空间，我们称此空间为希尔伯特空间。在高等微积分的 内容中，只会提及计算，如何求复立业系数或是复立业积分等。 以上大概就是高等微积分普遍会包含的内容。 --

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