作者crazyjonas ()
看板Physics
標題[問題] 有θ向力的保守力場?
時間Thu May 7 18:58:49 2020
請問各位高手
今天在思考保守力場時，發現如果力場的θ分量是k/r的形式，對其取旋度會是零，但在
圖像上卻是有旋轉的?
這表示這種場也算是保守力場嗎?
https://i.imgur.com/UdNmfTM.jpg
我發現如果是繞另一邊回到原點，會差2πk
不知道這之中的關鍵是什麼?
謝謝
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1F：→ Eriri: 這是個挺有教育意義的問題 05/07 21:02
2F：→ Eriri: 問題的關鍵 當然 是在於r=0這個點 05/07 21:03
3F：→ Eriri: 這個力的位能V是可以定義的 剛好是V=kθ 這不是個單值函數 05/07 21:04
4F：→ Eriri: 也就是說 可不可以把這種力稱為保守力 取決於你怎麼定義與 05/07 21:04
5F：→ Eriri: 看待 05/07 21:05
6F：→ Eriri: 教科書上的保守力定義 通常是說做功跟作用路徑無關 或者是 05/07 21:06
7F：→ Eriri: 這個力可以寫成某個位能函數的梯度 這兩者一般被認為等價 05/07 21:07
8F：→ Eriri: 你這個情況 這兩者不等價 因為r=0卡了一個奇點 05/07 21:08
9F：→ Eriri: 所以按照定義1 這不是個保守力 但按照定義2 這卻可以是保守 05/07 21:09
10F：→ Eriri: 力 有個關閉的方法 就是想像θ跟θ+2π 對應的不是同個位置 05/07 21:10
11F：→ Eriri: 就像是黎曼面一樣 05/07 21:10
12F：→ Eriri: 當然 這只是數學上的規避 物理上 這並沒有規避 這種力場不 05/07 21:14
13F：→ Eriri: 屬於基本力場 一個粒子在這種力場下會一直加速繞圈 05/07 21:15
14F：→ Eriri: 要產生這種力場 在r=0的地方 一定是有很tricky事情 05/07 21:17
15F：→ Eriri: "有個關閉的方法" typo 是 有個"規避"的方法 05/07 21:18
16F：→ Eriri: 當然 有個誕生這種力場的方式 就是有個磁單極 在電線造成的 05/07 21:21
17F：→ Eriri: 電場下運動 可是這個例子 真實的馬可仕威方程 必然會導致更 05/07 21:22
18F：→ Eriri: 複雜的事情發生 05/07 21:22
19F：→ Eriri: 我相信這個例子 應該在很多教科書不同的討論過 古典物理對 05/07 21:23
20F：→ Eriri: 我距離有點遠了 一時之間也想不起來哪裡有討論過了 05/07 21:24
21F：→ Eriri: 但類似的概念 其實量子物理倒是出現過的 而且影響深遠 05/07 21:25
22F：→ Eriri: 又一個typo 在電線造成的"磁場"下運動 05/07 21:28
23F：推 skn60694: 哇 作者應該是大一以下吧 講好多~ 05/07 21:42
24F：→ skn60694: 向量微積分有講 可以定義(純量)位 要是非旋力場 05/07 21:44
25F：→ Eriri: 如果是大一以下 那麼到底是不是保守力 就看現在高中教科書 05/07 21:44
26F：→ Eriri: 說磁場是不是保守場了 05/07 21:44
27F：→ Eriri: 只是 這種東西只是術語定義罷了 了解保守場有用的地方在哪 05/07 21:45
28F：→ skn60694: 所以...就不行 高中電磁在講電動勢(emf)可能也會提到 05/07 21:45
29F：→ Eriri: 為什麼位能的存在跟保守場的定義數學上等價 甚麼時候可能會 05/07 21:45
30F：→ Eriri: 發生怪事 這比較重要 05/07 21:46
31F：→ Eriri: 事實上 這個例子就是簡單的向量微積分容易出錯或忽略的地方 05/07 21:47
32F：→ Eriri: 這個例子 卡著一個奇點在那裏 沒有注意到的話 會以為旋度各 05/07 21:49
33F：→ Eriri: 處為0 不相信的話 可以自己試試 05/07 21:49
34F：推 skn60694: 這樣回答是比較全面 不過先從90%的答案 一步步修正可能 05/07 21:53
35F：→ skn60694: 作者比較好懂 這些問題應該會在應數解決啦 05/07 21:55
37F：→ Eriri: 這個討論中討論了磁場算不算保守場 一樣的 在不同的條件有 05/07 21:59
38F：→ Eriri: 不同的答案 05/07 21:59
39F：→ Eriri: 只是 黃福坤教授說 在沒有電流的區域就可定義磁位能 05/07 22:00
40F：→ Eriri: 但在這例子 即使位能可定義 能不能稱為保守力 卻還是很微妙 05/07 22:04
41F：→ Eriri: 原因都是因為r=0中卡了一個奇點(以磁場的例子 就是電流) 05/07 22:04
42F：→ Eriri: 我知道我可能在這個問題解釋太多 或許對於大一以下的學生是 05/07 22:29
43F：→ Eriri: 可能越搞越覺得複雜 05/07 22:29
44F：→ Eriri: 但這個例子 非常簡單 卻是很多更深概念的原始原型 物理上或 05/07 22:31
45F：→ Eriri: 甚至代數拓樸上的 如果對於這個最簡單的例子 有更多感覺的 05/07 22:32
46F：→ Eriri: 話 對於將來有心想要的延伸學習的人 也是有幫助的 因為理解 05/07 22:33
47F：→ Eriri: 複雜概念最好的方式 就是有個簡單的經典的對應原型例子 05/07 22:33
48F：推 Vulpix: 保守力要看區域有沒有圍住那些奇點，是不是保守力與所討 05/07 23:27
49F：→ Vulpix: 論的區域(物體的可移動範圍)形狀有關。 05/07 23:27
50F：→ crazyjonas: 謝謝回應，我在維基保守場的條目有找到解釋了，某旋 05/07 23:34
51F：→ crazyjonas: 度為零的向量場所在的範圍若不是simply connected， 05/07 23:34
52F：→ crazyjonas: 就不算保守場，不過我還看不出此例為什麼不是simply 05/07 23:34
53F：→ crazyjonas: connected。 05/07 23:34
54F：→ crazyjonas: 如果說是因為包含奇點，那換成平方反比力，似乎也包 05/07 23:40
55F：→ crazyjonas: 含奇點? 可是在地球重力場中繞地球一圈的結果並不會 05/07 23:40
56F：→ crazyjonas: 出現2π？ 05/07 23:40
57F：推 skn60694: F(0,0,0)=(Fx,Fy,Fz)=??? 寫不出來 原點要從定義域拿掉 05/07 23:47
58F：→ skn60694: 空的 所以不是單連通 無旋+單連通 是充分而非必要條件 05/07 23:49
59F：推 wohtp: 不是simply connected的空間就已經說不上保不保守了吧，或 05/08 01:04
60F：→ wohtp: 者至少必須加上一個沒有winding number的條件。我不覺得這 05/08 01:04
61F：→ wohtp: 裡有任何模糊空間。 05/08 01:04
62F：→ wohtp: 雖然高中或者大一普物的確會假裝所有的空間都topologically 05/08 01:04
63F：→ wohtp: trivial……那個階段的數理教育糊弄過去的東西難道還少了 05/08 01:04
64F：→ wohtp: 嗎？ 05/08 01:04
65F：→ wohtp: 回到原po的問題，我覺得最直接引用課本定理的看法是：旋度 05/08 01:09
66F：→ wohtp: 在原點發散，總之不是零，所以力場不滿足旋度零的條件。 05/08 01:09
67F：→ wohtp: 原po下面推文問的問題：測試simply connected的方法是看圈 05/08 01:13
68F：→ wohtp: 圈可不可以連續縮成一個點。二維平面挖一個洞就弄壞了，三 05/08 01:13
69F：→ wohtp: 維空間至少要抽掉一整條線。 05/08 01:13
70F：→ wohtp: 然後徑向力又不會轉，拿到幾維都沒事啊。 05/08 01:14
71F：推 kuromu: . 05/08 15:22
72F：→ crazyjonas: 謝謝回應 05/08 20:48
73F：推 ben102938: 我菜比巴資工大一 自己唸微積分的時候是學到保守場的di 05/08 22:04
74F：→ ben102938: fferential form需要是exact 不知道這樣看不看得出？ 05/08 22:04
75F：→ Eriri: 背公式是不好的習慣 為什麼exact就會是保守場? 這個力場會 05/09 02:20
76F：→ Eriri: 是在所有點都exact嗎? 其實上面的討論都看得出答案 05/09 02:21
77F：→ ben102938: 如果exact的話domain內不管有沒有0點都能用類似繞過的 05/09 15:48
78F：→ ben102938: 方式選取積分曲線,然後使用stokes theorem,此時向量場w 05/09 15:48
79F：→ ben102938: =df（exact定義）,所以dw=d(df)=0(differential form 05/09 15:48
80F：→ ben102938: 性質)所以積分完=0 我的理解是這樣 05/09 15:48
81F：→ Eriri: 不是這樣 05/09 16:11
82F：→ Eriri: 這就是我說的 這個力場w除了r=0外 是存在位能f=kθ 而w=df 05/09 16:23
83F：→ Eriri: 不過 θ不是單值函數 所以純數來說的確也不能說是exact 05/09 16:31
84F：推 wohtp: 呃，保守場定義不就是exact嗎？ 05/09 16:32
85F：→ wohtp: 連要證明等價都沒東西證 05/09 16:33
86F：→ Eriri: 是的 看來是我才是把exact跟closed記錯的人XD 05/09 16:34
88F：→ Eriri: 總之 我做個總結: 05/09 16:43
89F：→ Eriri: 這個例子 在r不為0的各處 1.力場是非旋的 旋度為0(closed) 05/09 16:44
90F：→ Eriri: 2. 存在位能函數V=kθ 使的F=-V的梯度 05/09 16:45
91F：→ Eriri: 3. 但由於θ不是單值函數 所以力場不是exact的 05/09 16:46
92F：→ Eriri: 我一直想要試著強調的一點是 在我看來 力是否要叫做保守 並 05/09 16:52
93F：推 wohtp: 既然已經在講數學定義我就吹毛求疵一下：不是單值就不叫函 05/09 16:52
94F：→ wohtp: 數了，所以不存在位能「函數」 05/09 16:52
95F：→ Eriri: 不是真正最重要的 保守力最有意義性質 是在於可以定義位能 05/09 16:53
96F：→ Eriri: 而這個例子中 某種位能是可定義的 而且是非常有用的 05/09 16:54
97F：→ Eriri: 如果只因它不該叫做保守力 而忽視這點 那不算好的物理 05/09 16:55
98F：→ ben102938: 一開始學的時候還不覺得differential form有什麼特別 05/09 22:19
99F：→ ben102938: 的(至少我的理解是一般工數大一不會學）現在覺得其實他 05/09 22:19
100F：→ ben102938: 的物理意義貌似很深？ 05/09 22:19
101F：→ Vulpix: 隨便挖掉一條branch，剩下的區域上就可以好好定義θ啦～ 05/10 02:22
102F：→ Vulpix: 所以我說「保守」要跟區域綁在一起談。如果要討論多值θ， 05/10 02:24
103F：→ Vulpix: 那就把空間解開看covering space。 05/10 02:24
104F：→ Eriri: 挖掉一條branch 等於你禁止了包住原點的path 05/10 03:33
105F：→ Eriri: 物理上就沒那麼有用 允許多值事實上比較有用 05/10 03:34
106F：推 Vulpix: 所以解開來看covering space就好啦，反正有的時候我們真的 05/10 04:09
107F：→ Vulpix: 也很想知道到底path順便繞了幾圈。不過因為解開來就不是原 05/10 04:10
108F：→ Vulpix: 空間了，所以仍不稱其保守。不然向量場不太糟的話，都可以 05/10 04:12
109F：→ Vulpix: 定義出「兩個」potential，一個scalar、一個vector。其實 05/10 04:13
110F：→ Vulpix: 他們都很有物理意義啊。 05/10 04:13
111F：推 Entropy1988: 這就像無體積的點電荷放在空間中 他的電場取散度也是 09/12 15:28
112F：→ Entropy1988: 到處都為零 09/12 15:28
113F：→ Entropy1988: 但是顯然用一個邊長不為零的正方體表面把這個點電荷 09/12 15:29
114F：→ Entropy1988: 包起來的話 又可以面積分得到非零的值 09/12 15:30
115F：→ Entropy1988: 當時在課本上看到例子就覺得果然奇點是危險的東西 09/12 15:31