作者crazyjonas ()
看板Physics
标题[问题] 有θ向力的保守力场?
时间Thu May 7 18:58:49 2020
请问各位高手
今天在思考保守力场时，发现如果力场的θ分量是k/r的形式，对其取旋度会是零，但在
图像上却是有旋转的?
这表示这种场也算是保守力场吗?
https://i.imgur.com/UdNmfTM.jpg
我发现如果是绕另一边回到原点，会差2πk
不知道这之中的关键是什麽?
谢谢
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1F：→ Eriri: 这是个挺有教育意义的问题 05/07 21:02
2F：→ Eriri: 问题的关键 当然 是在於r=0这个点 05/07 21:03
3F：→ Eriri: 这个力的位能V是可以定义的 刚好是V=kθ 这不是个单值函数 05/07 21:04
4F：→ Eriri: 也就是说 可不可以把这种力称为保守力 取决於你怎麽定义与 05/07 21:04
5F：→ Eriri: 看待 05/07 21:05
6F：→ Eriri: 教科书上的保守力定义 通常是说做功跟作用路径无关 或者是 05/07 21:06
7F：→ Eriri: 这个力可以写成某个位能函数的梯度 这两者一般被认为等价 05/07 21:07
8F：→ Eriri: 你这个情况 这两者不等价 因为r=0卡了一个奇点 05/07 21:08
9F：→ Eriri: 所以按照定义1 这不是个保守力 但按照定义2 这却可以是保守 05/07 21:09
10F：→ Eriri: 力 有个关闭的方法 就是想像θ跟θ+2π 对应的不是同个位置 05/07 21:10
11F：→ Eriri: 就像是黎曼面一样 05/07 21:10
12F：→ Eriri: 当然 这只是数学上的规避 物理上 这并没有规避 这种力场不 05/07 21:14
13F：→ Eriri: 属於基本力场 一个粒子在这种力场下会一直加速绕圈 05/07 21:15
14F：→ Eriri: 要产生这种力场 在r=0的地方 一定是有很tricky事情 05/07 21:17
15F：→ Eriri: "有个关闭的方法" typo 是 有个"规避"的方法 05/07 21:18
16F：→ Eriri: 当然 有个诞生这种力场的方式 就是有个磁单极 在电线造成的 05/07 21:21
17F：→ Eriri: 电场下运动 可是这个例子 真实的马可仕威方程 必然会导致更 05/07 21:22
18F：→ Eriri: 复杂的事情发生 05/07 21:22
19F：→ Eriri: 我相信这个例子 应该在很多教科书不同的讨论过 古典物理对 05/07 21:23
20F：→ Eriri: 我距离有点远了 一时之间也想不起来哪里有讨论过了 05/07 21:24
21F：→ Eriri: 但类似的概念 其实量子物理倒是出现过的 而且影响深远 05/07 21:25
22F：→ Eriri: 又一个typo 在电线造成的"磁场"下运动 05/07 21:28
23F：推 skn60694: 哇 作者应该是大一以下吧 讲好多~ 05/07 21:42
24F：→ skn60694: 向量微积分有讲 可以定义(纯量)位 要是非旋力场 05/07 21:44
25F：→ Eriri: 如果是大一以下 那麽到底是不是保守力 就看现在高中教科书 05/07 21:44
26F：→ Eriri: 说磁场是不是保守场了 05/07 21:44
27F：→ Eriri: 只是 这种东西只是术语定义罢了 了解保守场有用的地方在哪 05/07 21:45
28F：→ skn60694: 所以...就不行 高中电磁在讲电动势(emf)可能也会提到 05/07 21:45
29F：→ Eriri: 为什麽位能的存在跟保守场的定义数学上等价 甚麽时候可能会 05/07 21:45
30F：→ Eriri: 发生怪事 这比较重要 05/07 21:46
31F：→ Eriri: 事实上 这个例子就是简单的向量微积分容易出错或忽略的地方 05/07 21:47
32F：→ Eriri: 这个例子 卡着一个奇点在那里 没有注意到的话 会以为旋度各 05/07 21:49
33F：→ Eriri: 处为0 不相信的话 可以自己试试 05/07 21:49
34F：推 skn60694: 这样回答是比较全面 不过先从90%的答案 一步步修正可能 05/07 21:53
35F：→ skn60694: 作者比较好懂 这些问题应该会在应数解决啦 05/07 21:55
37F：→ Eriri: 这个讨论中讨论了磁场算不算保守场 一样的 在不同的条件有 05/07 21:59
38F：→ Eriri: 不同的答案 05/07 21:59
39F：→ Eriri: 只是 黄福坤教授说 在没有电流的区域就可定义磁位能 05/07 22:00
40F：→ Eriri: 但在这例子 即使位能可定义 能不能称为保守力 却还是很微妙 05/07 22:04
41F：→ Eriri: 原因都是因为r=0中卡了一个奇点(以磁场的例子 就是电流) 05/07 22:04
42F：→ Eriri: 我知道我可能在这个问题解释太多 或许对於大一以下的学生是 05/07 22:29
43F：→ Eriri: 可能越搞越觉得复杂 05/07 22:29
44F：→ Eriri: 但这个例子 非常简单 却是很多更深概念的原始原型 物理上或 05/07 22:31
45F：→ Eriri: 甚至代数拓朴上的 如果对於这个最简单的例子 有更多感觉的 05/07 22:32
46F：→ Eriri: 话 对於将来有心想要的延伸学习的人 也是有帮助的 因为理解 05/07 22:33
47F：→ Eriri: 复杂概念最好的方式 就是有个简单的经典的对应原型例子 05/07 22:33
48F：推 Vulpix: 保守力要看区域有没有围住那些奇点，是不是保守力与所讨 05/07 23:27
49F：→ Vulpix: 论的区域(物体的可移动范围)形状有关。 05/07 23:27
50F：→ crazyjonas: 谢谢回应，我在维基保守场的条目有找到解释了，某旋 05/07 23:34
51F：→ crazyjonas: 度为零的向量场所在的范围若不是simply connected， 05/07 23:34
52F：→ crazyjonas: 就不算保守场，不过我还看不出此例为什麽不是simply 05/07 23:34
53F：→ crazyjonas: connected。 05/07 23:34
54F：→ crazyjonas: 如果说是因为包含奇点，那换成平方反比力，似乎也包 05/07 23:40
55F：→ crazyjonas: 含奇点? 可是在地球重力场中绕地球一圈的结果并不会 05/07 23:40
56F：→ crazyjonas: 出现2π？ 05/07 23:40
57F：推 skn60694: F(0,0,0)=(Fx,Fy,Fz)=??? 写不出来 原点要从定义域拿掉 05/07 23:47
58F：→ skn60694: 空的 所以不是单连通 无旋+单连通 是充分而非必要条件 05/07 23:49
59F：推 wohtp: 不是simply connected的空间就已经说不上保不保守了吧，或 05/08 01:04
60F：→ wohtp: 者至少必须加上一个没有winding number的条件。我不觉得这 05/08 01:04
61F：→ wohtp: 里有任何模糊空间。 05/08 01:04
62F：→ wohtp: 虽然高中或者大一普物的确会假装所有的空间都topologically 05/08 01:04
63F：→ wohtp: trivial……那个阶段的数理教育糊弄过去的东西难道还少了 05/08 01:04
64F：→ wohtp: 吗？ 05/08 01:04
65F：→ wohtp: 回到原po的问题，我觉得最直接引用课本定理的看法是：旋度 05/08 01:09
66F：→ wohtp: 在原点发散，总之不是零，所以力场不满足旋度零的条件。 05/08 01:09
67F：→ wohtp: 原po下面推文问的问题：测试simply connected的方法是看圈 05/08 01:13
68F：→ wohtp: 圈可不可以连续缩成一个点。二维平面挖一个洞就弄坏了，三 05/08 01:13
69F：→ wohtp: 维空间至少要抽掉一整条线。 05/08 01:13
70F：→ wohtp: 然後径向力又不会转，拿到几维都没事啊。 05/08 01:14
71F：推 kuromu: . 05/08 15:22
72F：→ crazyjonas: 谢谢回应 05/08 20:48
73F：推 ben102938: 我菜比巴资工大一 自己念微积分的时候是学到保守场的di 05/08 22:04
74F：→ ben102938: fferential form需要是exact 不知道这样看不看得出？ 05/08 22:04
75F：→ Eriri: 背公式是不好的习惯 为什麽exact就会是保守场? 这个力场会 05/09 02:20
76F：→ Eriri: 是在所有点都exact吗? 其实上面的讨论都看得出答案 05/09 02:21
77F：→ ben102938: 如果exact的话domain内不管有没有0点都能用类似绕过的 05/09 15:48
78F：→ ben102938: 方式选取积分曲线,然後使用stokes theorem,此时向量场w 05/09 15:48
79F：→ ben102938: =df（exact定义）,所以dw=d(df)=0(differential form 05/09 15:48
80F：→ ben102938: 性质)所以积分完=0 我的理解是这样 05/09 15:48
81F：→ Eriri: 不是这样 05/09 16:11
82F：→ Eriri: 这就是我说的 这个力场w除了r=0外 是存在位能f=kθ 而w=df 05/09 16:23
83F：→ Eriri: 不过 θ不是单值函数 所以纯数来说的确也不能说是exact 05/09 16:31
84F：推 wohtp: 呃，保守场定义不就是exact吗？ 05/09 16:32
85F：→ wohtp: 连要证明等价都没东西证 05/09 16:33
86F：→ Eriri: 是的 看来是我才是把exact跟closed记错的人XD 05/09 16:34
88F：→ Eriri: 总之 我做个总结: 05/09 16:43
89F：→ Eriri: 这个例子 在r不为0的各处 1.力场是非旋的 旋度为0(closed) 05/09 16:44
90F：→ Eriri: 2. 存在位能函数V=kθ 使的F=-V的梯度 05/09 16:45
91F：→ Eriri: 3. 但由於θ不是单值函数 所以力场不是exact的 05/09 16:46
92F：→ Eriri: 我一直想要试着强调的一点是 在我看来 力是否要叫做保守 并 05/09 16:52
93F：推 wohtp: 既然已经在讲数学定义我就吹毛求疵一下：不是单值就不叫函 05/09 16:52
94F：→ wohtp: 数了，所以不存在位能「函数」 05/09 16:52
95F：→ Eriri: 不是真正最重要的 保守力最有意义性质 是在於可以定义位能 05/09 16:53
96F：→ Eriri: 而这个例子中 某种位能是可定义的 而且是非常有用的 05/09 16:54
97F：→ Eriri: 如果只因它不该叫做保守力 而忽视这点 那不算好的物理 05/09 16:55
98F：→ ben102938: 一开始学的时候还不觉得differential form有什麽特别 05/09 22:19
99F：→ ben102938: 的(至少我的理解是一般工数大一不会学）现在觉得其实他 05/09 22:19
100F：→ ben102938: 的物理意义貌似很深？ 05/09 22:19
101F：→ Vulpix: 随便挖掉一条branch，剩下的区域上就可以好好定义θ啦～ 05/10 02:22
102F：→ Vulpix: 所以我说「保守」要跟区域绑在一起谈。如果要讨论多值θ， 05/10 02:24
103F：→ Vulpix: 那就把空间解开看covering space。 05/10 02:24
104F：→ Eriri: 挖掉一条branch 等於你禁止了包住原点的path 05/10 03:33
105F：→ Eriri: 物理上就没那麽有用 允许多值事实上比较有用 05/10 03:34
106F：推 Vulpix: 所以解开来看covering space就好啦，反正有的时候我们真的 05/10 04:09
107F：→ Vulpix: 也很想知道到底path顺便绕了几圈。不过因为解开来就不是原 05/10 04:10
108F：→ Vulpix: 空间了，所以仍不称其保守。不然向量场不太糟的话，都可以 05/10 04:12
109F：→ Vulpix: 定义出「两个」potential，一个scalar、一个vector。其实 05/10 04:13
110F：→ Vulpix: 他们都很有物理意义啊。 05/10 04:13
111F：推 Entropy1988: 这就像无体积的点电荷放在空间中 他的电场取散度也是 09/12 15:28
112F：→ Entropy1988: 到处都为零 09/12 15:28
113F：→ Entropy1988: 但是显然用一个边长不为零的正方体表面把这个点电荷 09/12 15:29
114F：→ Entropy1988: 包起来的话 又可以面积分得到非零的值 09/12 15:30
115F：→ Entropy1988: 当时在课本上看到例子就觉得果然奇点是危险的东西 09/12 15:31