※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言： : ※ 引述《HeTaMan (eriz)》之銘言： : : 因為沒有詳細的做法和解答 所以上來問一下 謝謝QQ : : http://i.imgur.com/FzwqVux.jpg : : ----- : : Sent from JPTT on my Samsung SM-G950F. : 1. : V(x, y) = X(x)Y(y)代入Poisson's equations作分離變數法 Poisson 方程要有源項，這題是 Laplace 方程。 : Boundary conditions分上下左右，V_0 =/= 0 : 左：X(a)Y(y) = V_0 => Y(y) = V_0/X(0) = constant R =/= 0 : => Y滿足於Y" = 0 => X" = 0 : => V(x, y) = (Dx + E)R : 右：Da + E = 0 => D = -E/a : 上：V(x, b) = 0 = E[1 - x/a]R => E = 0 : => V(x, y) = 0，除非題目BC有出錯 所以分離變數的過程是： X"Y+XY"=0 => X"/X + Y"/Y =0 => X"=cX, Y"=-cY 因為 Y'(0)=0, Y(b)=0，所以 Y(y)=cos(y*π*正奇數/2b)=cos((2n+1)πy/2b)。 又 X(a)=0，可得 X(x)=Asinh((2n+1)π(a-x)/2b)。 完整的解要把所有可能的 XY 加起來。 所以 V(x,y) = ΣA_n*sinh((2n+1)π(a-x)/2b)*cos((2n+1)πy/2b)。 最後補上 V(0,y)=V_0， 這是說 V_0=ΣA_n*sinh((2n+1)πa/2b)*cos((2n+1)πy/2b)。 同乘 cos((2m+1)πy/2b) 再在 0≦y≦b 上積分， 得 V_0*(-1)^m*2b/(2m+1)π = A_m*sinh((2m+1)πa/2b)*b/2， 所以 A_m = 4V_0*(-1)^m/(2m+1)π/sinh((2m+1)πa/2b)， 因此，V(x,y) = Σ4V_0*(-1)^n/(2n+1)π/sinh((2n+1)πa/2b)* sinh((2n+1)π(a-x)/2b)*cos((2n+1)πy/2b)， n 要跑遍所有非負整數。 至於 2.，就是鏡像法。 兩圓柱外的空間的電位等價於某兩根長直導線做出來的電位。 鏡像法的基本公式之一就是彼此位於圓的反演位置。 假設把左側的圓柱縮小變成導線，導線在該圓柱圓心右側 b 處。 則 b(D-b) = a^2，所以 b = D/2 - √(D^2/4 - a^2)， 即此導線位於 x = -√(D^2/4 - a^2), y=0， 另一條導線在 x = √(D^2/4 - a^2), y=0。 為了方便，做三個點出來， A(√(D^2/4 - a^2),0,0), B(-√(D^2/4 - a^2),0,0), C(D/2+a,0,0) 所以 V(x,y) = K*ln(PA/PB) = V_0*ln(PA/PB)/ln(CA/CB)。 --

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