作者kuromu (kuromu)
看板Physics
標題Re: [問題] 不確定原理的動量推導
時間Fri Aug 24 19:51:07 2018
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(1) 由p=hk 猜測 <x|p> ~ e^(ipx/h)
波函數的位置與動量representation互為fourier transform
(2) 假設Ehrenfest theorem中的 <p>= m(d<x>/dt) 成立
輔以由薛丁格方程推導出的機率守恆式
^^ ^^ _ ^
(3) 假設 xp-px = ih , p|p> = p|p>
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(1) <p> = ∫ψ*(p)pψ(p)dp
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~ ∫[∫Ψ*(x)e^(ipx/h)dx]p[∫Ψ(y)e^(-ipy/h)dy]dp
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= ∫[∫Ψ*(x)e^(ipx/h)dx][∫Ψ(y)(-ih ∂/∂y)e^(-ipy/h)dy]dp
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= ∫∫Ψ*(x)(-ih ∂/∂y)Ψ(y) {∫e^[ip(x-y)/h]dp} dxdy
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~ ∫∫Ψ*(x)(-ih ∂/∂y)Ψ(y)δ(x-y)dxdy
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= ∫Ψ*(x)(-ih ∂/∂x)Ψ(x)dx
(2) <p>= m(d<x>/dt) = m (d/dt)∫Ψ*(x)xΨ(x)dx
= m∫x [∂|Ψ^2(x)|/∂t ]dx
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= (-ih/2) ∫{Ψ*(x)[∂Ψ(x)/∂x]-[∂Ψ*(x)/∂x]Ψ(x)}dx
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= ∫Ψ*(x)(-ih ∂/∂x)Ψ(x)dx
^^ ^^ _ ^ ^ ^^ _ ^ _
(3) xp-px =ih => p x|p> = (xp - ih)|p> = p x|p> - ih|p>
^ ^ _
=> [p-p] x|p> = -ih|p>
^ ^n _ ^(n-1)
由數學歸納法可知=> [p-p] [x/n!] |p> = -ih[x /(n-1)!]|p>
^ ∞ _n ^n ∞ _n-1^(n-1)
=> [p-p]Σ [(iΔp/h) x/n!] |p> = ΔpΣ [(iΔp/h) x/(n-1)!]|p>
_ ^ _ ^
^ (iΔp/h)x (iΔp/h)x
=> [p-p] e |p> = Δp e |p>
_ ^ _ ^
^ (iΔp/h)x (iΔp/h)x
=> p e |p> = (p+Δp) e |p>
_ ^
(iΔp/h)x
=> e |p> = |p+Δp>
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=> ∂<x|p>/∂p = (ix/h)<x|p>
_ ^
=> <x|p> ~ e^(ipx/h) 可進一步推出p的表示
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※ 編輯: kuromu (61.227.224.53), 08/24/2018 19:55:06
1F：推 sputtering: 很久沒看到m級的文,太漂亮了 08/24 22:51
2F：→ sputtering: (2)好像導錯了 不過理論上應該還是導得出來 08/24 23:31
3F：推 yuponkimo: 謝謝 08/25 11:41
6F：→ sputtering: 上面的聯結捕上(2)跳過的部分 (2)還是對的 08/25 13:28