作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Physics
標題Re: [問題] 一個想像重力問題
時間Fri Jul 17 02:42:28 2015
...其實這題應該只是想考兩個負質量的物體會有怎樣的牛頓引力啦。
答案是同性相吸。
要認真討論的話，首先必須做兩個假設：
1. 「水」不是真的水，尤其必須
百分之百完完全全不可壓縮。
不然你就等著看重力塌陷把題目玩壞。
2.
請把相對論暫時忘記，我們只討論牛頓引力。
會動的時空超級麻煩的啦。
那麼我們來看重力位能。因為位能是質量的線性函數，所以我們可以把系統
拆開成三個部分，然後再兩兩相加：
a) 背景的水，均勻密度，充滿整個空間
b) 氣泡之一，相當於一個負密度的球
c) 氣泡之二，同上
然後位能函數就是那個 -G m1 m2/r 對兩個質量分布積分。
總重力位能可以分成六個部分：
Ua, Ub, Uc: a, b, c 對自己作用的位能
Uab, Uac, Ubc: 各部份的交互作用
Ua：
負無限大。但反正是個常數，掃到地毯下面看不到就可以了。
Ub, Uc：
均勻球體的 1/r self-energy，大家電磁學都做過吧？
也是負的常數，雖然不是無限大，照樣掃到地毯底下。
Uab, Uac：
正無限大，仍然是常數，仍然一起忽視。
Ubc：
這是唯一一項跟氣泡距離有關係的。
兩個氣泡都是負質量，所以位能跟兩個正直量其實是一樣的。
負的，距離越遠越接近零。
總之就是氣泡會相吸。
不過你要是真的做實驗發現氣泡相吸，你多半是看到水的表面張力...
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1F：推 Landau: 推認真文，及最後一句XD 07/17 08:06
2F：推 Entropy1988: 原來如此 07/17 11:21
3F：→ Entropy1988: 不過還是有點奇怪 充滿了整個空間的正密度到底會產生 07/17 11:25
4F：→ Entropy1988: 什麼場？ 07/17 11:25
Cosmological constant.
5F：→ Entropy1988: 或是說ΔUab,ΔUac真的是0嗎？ 07/17 11:39
是零啊。因為位能函數有translational invariance，
位能不可能受單一氣泡的位置影響。
6F：→ woieyufan: 所以是不是 對於其中一個氣泡A來說 有氣泡B的那邊水比 07/17 22:55
7F：→ woieyufan: 較少 因為另一邊是無限的水 07/17 22:55
※ 編輯: wohtp (103.1.70.251), 07/18/2015 00:57:11
※ 編輯: wohtp (103.1.70.251), 07/18/2015 00:57:58
8F：推 comeandgo: 想請問，氣泡的移動不也代表水的移動嗎？ 為什麼自己 07/19 23:06
9F：→ comeandgo: 的位能沒有因此改變呢？ 07/19 23:06
因為每個地方都一模一樣啊。
首先，我們愛怎麼畫座標軸是我們的事，不應該影響交互作用位能，這點你可以同意吧？
而一顆氣泡的位置在(0,0,0)和(1,0,0)有什麼差別？只差了座標軸平移。
這個系統裡面真正有意義，不會因為我們換個座標軸畫法就跟著改變的物理量，
只有兩個氣泡之間的距離。
※ 編輯: wohtp (103.1.70.196), 07/19/2015 23:38:35
※ 編輯: wohtp (103.1.70.196), 07/19/2015 23:55:11
10F：推 comeandgo: 請問這樣的是否沒有考慮邊界的問題呢？ 應該可以透過 07/20 01:05
11F：→ comeandgo: 移動水讓整體的質量更"集中" 進而改變自身位能吧 抱 07/20 01:05
12F：→ comeandgo: 歉描述的不是很具體 07/20 01:05
13F：→ wohtp: 的確是沒有。我假設空間是整個R3，要不然什麼沒有邊界的有 07/20 04:25
14F：→ wohtp: 限manifold也可以。 07/20 04:25
15F：推 comeandgo: 這樣我就了解了 感謝 07/20 10:49