※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言： : 運動學中： : 定義x'(t)=v(t), v'(t)=a(t) : 有不少人說：a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt) 是對的， 這是對的 : 還藉此推導了一些公式來解題目， : 我懷疑這是錯的。來這邊問問大家。 : 對照 Calculus textbook 上 chain rule 的 syntax, : df(g(x)) df(y) | dg(x) : --------- = ------ | * ------- : dx dy | y=g(x) dx : (註：stewart, larson, varberg 等傢伙的微積分書的 chain rule 都沒有 | : |y=g(x) : 的寫法，而都是直接寫 df(g(x))/dx = (dy/du) * (du/dx)， : 對不起，我必須說他們全都寫錯了 :)。 書沒錯，書一定會交代 y=f(g(x)) , u=g(x) 一定是你沒看清楚 : 如果你是老師，記得講課時幫學生更正一下。 : ) : 話拉回來， : chain rule 要能成立，可是有前提的。 : 對整個被微分對象而言， : 1. 他必須是兩個函數所合成的合成函數f(g(x))， : 等號右側可寫成二項相乘： : 一項是 ── 外面的函數f以y表示時(即f(y))，對y微分的結果 : 或者說：f(y)對y微分，得到的導函數再將y=g(x)代入 : 或者說：說 f(g(x)) 對 g(x) 微分 : 注意，不能說f(x)對g(x)微分，那差太遠了 : 另一項是 ── 裡面的函數g(x)對x微分。 : 總之，這要能成立： a=(dv/dx)*(dx/dt) : (以下我先假設他是對的，用反諷的手法推論下去，得到不對或矛盾的結果， : 而知假設錯誤，得到 a= (dv/dx) * (dx/dt) 為錯 ) : 根據上面 chain rule 樣貌，a 應等於 dv(x(t)) : ---------- : dt : 這樣就是說， v(x(t)) 微分恆為 a(t) 囉！？ : 又同樣邏輯， a= dv(t)/dt， 所以 a= dv(t)/dt = dv(x(t))/dt， : 兩個函數的導函數一樣，不知道有沒有兩個函數必相等的 theorem， 會差個常數 : 如果有， v(t) 就是 v(x(t)) 了！也太不可思議。 簡單講就是你犯了一個濫用符號的錯誤 v(x(t)) 代表 v(.) 是 x 的函數 v(t) 代表 v(.) 是 t 的函數 兩個不一樣的函數你用同一個符號 難怪會出問題 若要同時提及這兩個函數 最好用不同的符號 例如 v=f(t)=g(x)=g(x(t)) : 網路上不少人以之為對（他們給不出證明），我有點保留。 : 請大家來討論看看。 --

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