※ 引述《xgcj (ㄨGc丁)》之銘言： : 其實 ▽˙B=0 => 所以 B=▽╳A 這種推論是錯誤的 : 我們在推導公式的時候都是說 如果有一個場B : 他可以寫成B=▽╳A 這樣的話 我們才可以直接推斷 : ▽˙B=0 : 也就是說 B=▽╳A =>▽˙B=0 這樣才對 我們並不知道有沒有可能 : 有某種B 他的▽˙B=0 但是 B並不能寫成▽╳A : 不過在R3中 這是雙箭頭 但是誰有沒有100%的信心說這就是R3 : ===================================================== : 回到原點 所以倒底有沒有磁單極呢?? : 我們從最基本的馬克斯威開始想 : 馬克斯威方程式是長得這樣子的 : ▽˙B=0 (1) : ∂B : ▽╳E+ ──=0 (2) : ∂t : ▽˙E=ρ (3) : ∂E : ▽╳B- ──=j (4) : ∂t : 基本上除了最後一條有部分是猜出來的 其他都是實驗得來的 : 而線在我們會用上兩條式子 : E=-▽Φ-∂ A : t : B=▽╳A : 以前都以為這兩條是補助的式子 : 因為用這兩條 可以輕易的去推導出(1)(2) : 但是後來我們發現Aharonov–Bohm effect : 這效應跟我們說明了 事實上 Φ A 不應該只是補助量 : 他應該是更基本的量 : 如果是更基本的量 那我們是不是可以把B寫成 : B=▽╳A 而去推出 ▽˙B=0 : 其實 不能只考慮這樣 : 雖然B=▽╳A 保證說 ▽˙B=0 : 但是我們要考慮的A在整個空間中到底能不能適用 : 因為A他可能是一個local的量 : 同一種A 並不一定能推廣到所有空間的成立 : 蛤? 你問我再說什麼? 我直接說明好了 : 我要用B=▽╳A 去做出磁單極來! : 首先怎做呢? : 我有點懶的算 直接給答案好了 : 我們有An 根As兩種vector potential : 在球極座標底下 : g ^ : An=── tan(θ/2) ψ : r : -g ^ : As=── cot(θ/2) ψ : r : 這兩者 分別有他們的適用範圍 An只被定義在θ=/=π的地方 : As只被定義在θ=/=0的地方 : 一個在上半球 一個在下半球 中間覆蓋的地方 差一個"規範變換" : An-As=▽Φ Φ=2ψ 這樣子的A場的確可以看起來像在原點處製造出一個值為g的磁荷 但正是由於該場在θ=π/2 處的不連續，使得該處又有等量的磁通量流進原點 使得磁通量的淨流出仍然是零 θ=π/2處的磁通量可以這樣算： 由旋度在球坐標的表示式 ^ 1 ∂ ┌ ┐ ▽╳A = r-------- -----│sinθ A │ rsinθ ∂θ └ ψ┘ g -g 由於該A場的值在 θ=π/2-δθ 到 θ=π/2+δθ 由 ------ 變成 ------ (δθ為一小角度) 4πr 4πr 故上式可寫為 -g g ------ sin(π/2+δθ) - ------ sin(π/2-δθ) ^ 1 4πr 4πr ▽╳A = r----------- -------------------------------------------------- rsin(π/2) (π/2+δθ)-(π/2-δθ) 整理一下就得到該處的磁場 ^ g B = ▽╳A = -r ------------- 4π(δθ)(r^2) 磁通量 = B˙2(δθ)r˙2πr = -g 簡單的說 雖然這樣子的A場的確製造出一個均勻向外發散的磁通量+g (因此等價於一個在原點的磁荷g) 但同時又在θ=π/2 處製造出了一個流向原點的磁通量-g 所以總體的淨磁通量仍然是0 (也就是▽˙B = 0 啦) 誠如上一篇所說的，只要這整件事仍然是在R^3發生的 B = ▽╳A 就等價於 ▽˙B = 0 --

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