作者Qmmmmnn (Qmmmmmmmmm)
看板Physics
標題[問題] 慣性坐標系、動/能量守恆
時間Wed Nov 7 22:12:22 2012
請問，該如何解釋當球自由落下時的動量不守恆呢？
我不是指我不知道牛頓第二定律，由於合力不等於零而造成了動量時變率不為零，
所以重力對球造成了衝量，這是ok，但是關鍵出在牛頓第三定律。
不論地球質量與球的質量差距多麼懸殊，地球相對地面上之觀察者的速度必定為零，
所以合力總是為零，如果把這問題簡化，就變成：
若A,B兩球進行碰撞，且觀察者在A上時，碰撞過程必須在
B上加上慣性力，但儘管如此，動量是不是依然不守恆呢？
其他的動量在哪裡呢？（第三定律依然不成立？）
由牛頓慣性定律中的絕對空間假設，在慣性坐標系下，牛頓三大定律會成立，
因此可推得動量守恆定律，所以這是否表示，任何牽涉到與自身碰撞的問題，
都是不滿足牛頓之絕對空間，而是在非慣性坐標系，儘管加上了慣性力使之有「慣性」，
但也只是使牛頓第二定律得以解決非慣性坐標系問題而已，並沒有使牛頓第三定律
成立。所以動量守恆僅適用於慣性坐標系，這樣想是對的嗎？
如果是對的，是否表示在非慣性坐標系下（或者涉及到與自身交互作用的情況），
能量將會不守恆？（或者說無法由牛頓力學推理能量守恆？）
像是對於站在地面上靜止不動的觀察者而言，從高空自由落體的球的動能由來似乎
就是無法解釋的，對球的系統的合力做功即來自地球給予的正功，但是，球並沒有
給地球負功，所以出現了能量不守恆的現象。
我的問題有點複雜，請各位高手幫忙解惑，非常感謝～～
謝謝
我隱隱約約覺得，我的問題出在，參考系與系統是相同的部份，但不太確定
牛頓力學的物體應該不能分析自身吧？所以任何牽涉到觀察者本身的交互作用
都是不能用牛頓力學（甚至所有學問？）來分析的？
這個想法似乎有點廢話...不過還是想問問看
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◆ From: 175.96.128.109
1F：推 ren1072:空間平移對稱則線動量守恆 11/07 22:48
2F：→ ren1072:等向性則角動量守恆，時間平移不變則能量守恆 11/07 22:48
3F：→ Qmmmmnn:樓上你的答案我已從諾特定理看過很多次了，我看不懂 11/07 22:49
4F：→ Qmmmmnn:可直接回答的問題嗎 我的想法哪裡需要修正 11/07 22:50
5F：→ Qmmmmnn:請問，我的問題是否已超出牛頓定律的適用範圍呢 or~?? 11/07 22:52
6F：→ ren1072:沒有，你只是缺少大局觀 11/07 23:47
7F：→ Qmmmmnn:所以我的問題該如何解決？我對牛頓力學的理解錯了嗎？ 11/08 00:03
8F：→ Qmmmmnn:你的回應使我感到不被你尊重，你所理解的知識相對於我就 11/08 00:03
9F：→ Qmmmmnn:像是高中生用三角函數寫國中數學那樣 你不願意從我已知的 11/08 00:04
10F：→ Qmmmmnn:知識去推理、回答我的問題 當我告訴你我不懂那個理論時 11/08 00:04
11F：→ Qmmmmnn:你又說我缺乏大局觀 11/08 00:04
12F：→ Qmmmmnn:你如果擁有所謂的大局觀，麻煩你用我已知的牛頓力學與功能 11/08 00:10
13F：→ Qmmmmnn:原理，告訴我，我的推論哪裡有問題、哪裡該修正，謝謝。 11/08 00:10
14F：推 Muscovy:Qmm 兄, 我看不懂「慣性力」是什麼, 先幫我解惑一下... 11/08 00:17
謝謝你的提問，我偏好將常見的「假想力」稱為「慣性力」，因為牛頓第一定律
的內容是：「存在某些座標系，當物體所受合力為零時，物體將維持靜止或等速運動」。
這種坐標系被稱為慣性坐標系，亦即在這座標系觀察到的物體將具有「慣性」。
在慣性座標系中，牛頓第二與第三定律將成立，然而在非慣性坐標系中，物體
將失去所謂的「慣性」，為了讓物體擁有慣性（我自己是這麼解釋的，不確定是否ok），
所以在分析物體受力時，必須加上一假想力、使物體具有慣性的力。
如此一來，牛頓第二定律就適用，不過第三定律似乎還是不適用QQ(NOT SURE)
15F：推 Muscovy:哦, 那你的觀念是對的啊, 牛頓三定律只適用慣性坐標... 11/08 00:38
哈囉
那請問我底下這問題呢
「牛頓力學的物體應該不能分析自身吧？所以任何牽涉到觀察者本身的交互作用
都是不能用牛頓力學（甚至所有學問？）來分析的」
這樣子的話，任何跟觀察者作交互作用的現象都不能被觀察者用定律解釋耶
（好像是）
16F：→ Muscovy:你在古典力學要套到非慣性坐標的話, 直接轉換有點難 11/08 00:40
17F：→ Muscovy:通常都是從 Lagrangian 出發, 找 constant of motion. 11/08 00:41
請問這所謂的「轉換」，可以是伽利略轉換嗎，不過效果只是推導出假想力的值
（好像是）
18F：→ Muscovy:可以, 牛頓力學可以分析自身, 只要沒有 sigularity 就可以 11/08 00:41
那請問
(1)什麼是singularity，你在哪裡學到的呢？牛頓的自然哲學與數學原理這本書
有提過嗎？因為我看了很多跟牛頓當時有關的推理（亞里士多德、伽利略、笛卡兒到
牛頓的絕對空間、水桶實驗、...），都沒看到你說得singularity QQ
(2)以下這個問題該如何用牛頓力學解釋呢
當A與B球進行彈性碰撞時，若觀察者就是A，則它將觀察到"由A、B組成的系統"的
總動量不守恆（我應該沒算錯＠＠相對速度剛好反向），還是說這是正常的？
只是總覺得不受外力的系統總動量應該守恆...(還是說由A看到的AB雙球系統之合外力
不為零？）
19F：→ Muscovy:Galilean transform 是慣性座標間的轉換哦. 11/08 00:43
20F：→ Muscovy:我說的那套方法是物理系的理論力學會教的... 11/08 00:44
21F：→ Muscovy:如果你有課本, 找 Coriolis force 的章節, 最常見的範例 11/08 00:45
22F：→ Muscovy:會提到怎麼變換 operator 還有 motion. 11/08 00:46
23F：→ Muscovy:sigularity 就像靜電荷的電場啊, 電荷的位置, 場會無限大 11/08 00:47
牛頓力學裡有singularity出現的可能嗎？剛剛提的AB兩球的例子有singularity嗎？
(不考慮萬有引力定律的話）
24F：→ Muscovy:至於你那個 (2), 因為它是非慣性座標, 簡單地說不成立 11/08 00:48
25F：→ Muscovy:一般來說沒有 sigularity, 所以可以推論自身, 沒問題... 11/08 00:48
Oh 你剛回的意思是，動量守恆只會發生在慣性坐標系嗎？
老實說我總覺得慣性與非慣性坐標系很詭異，似乎只有在運動尺度很小（相較地
球半徑）、速度遠小於光速時才有所謂的慣性座標系？
那麼一開始舉的例子呢？有一球從高空自由落下，這顆球得到的動量來自於誰呢？
在這情況中，相對地面靜止的坐標系是否成為了非慣性坐標系？
26F：→ Muscovy:但是「慣性坐標」始終都是先決條件. 11/08 00:49
27F：推 Muscovy:你一開始的例子反而比你化簡過的要容易回答... 11/08 00:56
28F：→ Muscovy:自由落體的例子是因為「嚴格來說, 此時地球也加速向上」. 11/08 00:57
我知道這點，但正如我前幾行所說的，這個概念更嚴格來說，對地面上的觀察者而言，
地球是恆靜止的，不是嗎？
29F：→ Muscovy:這個質量很大的地球, 它也有動量的... 11/08 00:58
但是觀察者總是發現地球維持靜止，RIGHT?
30F：→ Muscovy:對啊, 所以這個也是問題, 哪裡有「真正的慣性坐標」？ 11/08 00:59
31F：→ Muscovy:這可不是我問的, 這是愛因斯坦問的... 11/08 01:00
Hmm 麻煩的東西 越想越覺得無言
若撇開牛頓力學、慣性座標不談，那麼該如何解釋在地面上的觀察者所察覺到的
下落的球的動量是無中生有的現象呢？
32F：→ Muscovy:不不不, 觀察者並不會認為「地球維持靜止」. 11/08 01:01
WHY
33F：→ Muscovy:觀察者會想盡各種辦法量出那個消失的動量... 11/08 01:02
這句話的意思是？有種理論上與實際上的差別？還是？
34F：→ Muscovy:結果不一定量得到, 但是即使量不到, 也必須小於儀器誤差 11/08 01:02
35F：→ Muscovy:至於你問的問題, 古典力學的解決辦法很簡單... 11/08 01:03
你在這裡所指的「古典力學」是不是指除了牛頓力學之外的拉格朗日與哈密頓力學呢？
36F：→ Muscovy:如果你發現「處處有場」, 那你就要想像一個「上帝座標」. 11/08 01:04
這跟牛頓說得絕對時空有關係嗎？
37F：→ Muscovy:其實就是把消失的動量放到地球上, 然後試看看量得到嗎 11/08 01:06
Oh my god，但地球的位置對於觀察者而言...你是指測量地球質心，而非觀察者腳底下
踩的地面？
38F：→ ren1072:如果我的回答冒犯了你，那我說聲抱歉，我無意如此 11/08 01:06
OK
39F：→ Muscovy:有, 絕對時空就是那個上帝座標. 這個就是牛頓三定律的難處 11/08 01:06
想像一個絕對時空之後呢
40F：→ ren1072:就你的座標來看，碰撞前後你都在A球上 11/08 01:06
41F：→ ren1072:雖然碰撞前後都是慣性的，但是在碰撞那個時間點非慣性 11/08 01:07
42F：→ Muscovy:Lagrangian/Hamiltonian 都是 newtonian, 哈... :D 11/08 01:08
Hmm...慘，那所以該怎麼解決從空中自由落下的物體的動量由來的問題呢？
這個問題解決後，才能進一步探討（對我來說）這個自由落下物體的動能由來..
43F：→ ren1072:我只是想指出這點 11/08 01:08
ok thank you~~
44F：→ Muscovy:想像出絕對時空, 計算應該發生的現象, 然後實驗, 然後修正 11/08 01:09
意思是沒辦法從理論來說明下落物體的動量由來嗎？這怎麼有點詭異，因為如果我又站在
地球的質心上來看呢？這樣是不是就GG了
45F：推 Muscovy:不會有問題啊, 把地球放進去考慮就好了... 11/08 01:12
不太確定你是指動量還是動能的部份，針對動能的問題，我是刻意將系統取為球而已。
所以球的動能增加，來自於地球對球作正功，但是球對地球卻不做功（地球質心上的觀
察者測量到的地球位移為零）
46F：→ Muscovy:那個自由落體的「上帝座標」就是同時看到物體和地球的座標 11/08 01:12
所以無法將「上帝座標」設定在地球質心上嗎，假設地球質量分布完全均勻（想從
理論著手）
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:14)
47F：推 Muscovy:不行不行, 球不能不對地球做功... 這個結果表示座標找錯了 11/08 01:14
你提出了一個我從未想過且也不太同意的想法，也就是「只有部份的座標系」才能
計算「做功」。我有會錯意嗎？
48F：→ ren1072:你可以把"地球把球拉下來"看成一種碰撞過程 11/08 01:15
是的，我已這麼看了
49F：→ ren1072:這時你又站在地球上，自然座標非慣性 11/08 01:15
我跟你確認一下你的意思，
你是指「相對地球靜止的觀察者所在的座標系為非慣性坐標系」嗎
50F：推 Muscovy:沒錯, 只有「慣性座標系」才可以計算「能量的轉移」. 11/08 01:17
alright 我想這也是出自於你之前對動量守恆的前提解釋吧，有道理。
那剩下一個問題拉：
所以無法將「上帝座標」設定在地球質心上嗎，假設地球質量分布完全均勻（想從
理論著手）
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:18)
51F：→ Muscovy:我反問一個問題好了, 假設你去飆車, 油門用力催下去... 11/08 01:17
52F：→ Muscovy:這個時候你會看到「全世界的動能改變」... 但那是錯的. 11/08 01:18
意思是，這時的動能其實是沒意義的嗎
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:19)
53F：推 ren1072:是的 11/08 01:19
sorry 因為你在我上個問題之下方回答，所以我不太確定你在回哪個問題qq
你是回
『你是指「相對地球靜止的觀察者所在的座標系為非慣性坐標系」嗎』
這個問題嗎
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:21)
54F：推 Muscovy:上帝座標可以隨意假設, 不過當你找到不對勁的地方就要捨棄 11/08 01:20
這使我得到一個結論，凡是正在進行（不被忽視的）交互作用的座標系，皆不是你所
謂的上帝座標。這個結論對嗎？
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:22)
55F：→ Muscovy:催油門的時候所描述的動能並不是沒意義, 但是不守恒. 11/08 01:21
56F：→ ren1072:我是回我的問題... 11/08 01:21
OK 你與Muscovy都給了我相同的答案，也就是在我考慮的例子，在地面上與
地球相對靜止的觀察者所看到的自由落下的球的動量/動能由來之所以無法解釋，
是因為我處在非慣性坐標系中。
所以我想反過來問，是不是可以這麼定義慣性坐標系：
若分析的系統合外力為零時，滿足動量守恆定律、分析的系統合外力做功為零時，
滿足能量守恆定律，那麼分析這系統時所採用的座標系即為慣性座標系。
你們覺得這定義是對的嗎？
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:26)
57F：推 Muscovy:其實我不太確定你的「交互作用」是什麼意思... O_o 11/08 01:25
就是有互相施力（由絕對空間定義出來的單值的、絕對的力）的情況。
58F：→ Muscovy:比較簡單的說法是, 你找的這個座標裡, 每件事情都很有道理 11/08 01:26
59F：→ Muscovy:有道理的意思就是符合牛頓三定律... 11/08 01:26
60F：→ Muscovy:那這個座標就是三定律的上帝座標（這有嚴重的邏輯瑕疵） 11/08 01:27
61F：→ Muscovy:可是雖然有嚴重的邏輯瑕疵, 但是到今天都找不出解決方案. 11/08 01:28
你可以說說你理解到的邏輯瑕疵嗎
62F：→ Muscovy:而這個問題再往下問一兩步, 就是廣義相對論了... 11/08 01:29
而我剛才對慣性坐標系的定義方式的問題，其實是想確認我對你的推理方式理解
是否有錯誤，因為若那個定義是對的，則這似乎進入了循環論證、邏輯謬誤。
63F：→ Muscovy:那不是我理解到的, 那也是愛因斯坦大人說的... 嘿. 11/08 01:30
64F：→ Muscovy:邏輯的問題出在, 你必須靠「牛頓三定律成立與否」... 11/08 01:31
65F：→ Muscovy:去定義一個「慣性坐標」........ 11/08 01:31
這也意味著，必須依靠
若以下這兩條件成立，
1.「系統合力為零時，總動量守恆」
2.「系統合外力做功為零時，總能量守恆」
則現在的參考系為慣性坐標系。
然後又
若現在的參考系為慣性座標系，所以牛頓三大定律又成立，暗示1.2也成立。
造成循環論證，是這意思嗎？
66F：→ Muscovy:可是「牛頓三定律」要如何成立呢？要在「慣性坐標下」. 11/08 01:31
67F：→ Muscovy:如果不是愛氏說的, 絕對被物理老師們吊起來打... 11/08 01:32
ㄎㄎㄎㄎㄎㄎ
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 101.14.9.191 (11/08 01:35)
68F：→ ren1072:這時候就回到我最開始的推文了... 11/08 01:55