小弟沒有很懂，有很多細節也都忘了，但加減回答一下 可能沒回答到根本的核心，可以再討論 ※ 引述《ijsfkira (ijsfkira)》之銘言： : 但有幾個問題我不太理解... : 1.Chern number必須是整數 所以這套方法似乎不能用在FQHE裡? : 那對於FQHE 有沒有類似的推廣用以解釋分數的由來? : 2.我也讀過關於分數量子效應的有效場論 但大概僅只知道這可以解釋一堆現象而已 : 頂多知道它在某些情況怎麼被微觀導出(Yoshioka那本書的程度) : 所以我一直好奇─雖然這可能是個笨問題...(畢竟我也不是很懂)─ : Chern-Simons term出現在物理裡頭 最大的物理因素究竟是甚麼啊? : 我的意思是 好比說 我知道像U(1)gauge invariance要求我跑出一項電磁作用 : 那麼是不是有甚麼原則藏在Chern Simons term裡? 當many-body wavefunction做unitary transformation後，fermionic WF變成bosonic WF Ψ(x1,x2,..,xN) = Uψ(x1,x2,...,xN), U = exp{ -i(θ/π)Σα_{ij} } Ψ(x2,x1,..,xN) = -Ψ(x1,x2,..,xN), ψ(x2,x1,...,xN) = ψ(x1,x2,...,xN) 其中θ=π(2n+1)，fractional charge的主因 H → H = 1/2m Σ[p_i - e*A(x_i) - e*a(x_i)] + V A: EM gauge field, a = (Φ_0/2π)*(θ/π)Σ grad_j[α_{ij}] : new gaue field quantum flux Φ_0=h/e == 2π 詳情見書 αβ a滿足ε ∂ a (x) = (Φ_0)*(θ/π)*ρ(x), ρ(x) : charge density α β 注意每個粒子上附著 a-flux，因此當一粒子(boson)繞另一個粒子時 除了得到AB phase, Φ=B*A，還包含a-flux造成的phase (fractional statistics) 平均場的解為ρ(x)=ρ_0, average density, 以及 A+a=0 也滿足filling factor, ν=Ne/(Φ/Φ_0) = 1/(2n+1) 考慮fluctuation，A+a=δa, δρ可由以下得到 αβ ε ∂ δa (x) = (Φ_0)*(θ/π)*δρ(x) α β 帶入second quatization Schordinger equation + ... 就可以得到Chern-Simons Langrangian with Cherm-Simons term μνλ ε a ∂ a μ ν λ or written as the nonlocal Hopf term μνλ ε j (∂^-2) ∂ j μ ν λ 我想主要是因為是2+1 dim，particle conservation ∂j=0 正好讓2+1 particle density (current)用 ∂a 表示 (也隱含fractional charge) 而 j=-grad A 成立時，表示有超流(這裡要做個轉換)，也會出現在QHE : ? 可是我記得TKNN的argument有一項很重要的前提是:基態是非簡併的 : 對於有些像是Non-Abelian的case 基態不是得要簡併嗎? : 我也不是很理解"積分沒積完整"詳細是甚麼情形@@ : 它不是先積完整個BZ 才對填滿的band加總嗎? 不填滿的band到底會有甚麼情況? 這裡跟Non-Abelian沒什麼關係 Integral filling, GS WF就只有一種，是把LLL填滿，所以degeneracy=1 fractional filling很明顯，GS簡併度不等於一(多少電子分配flux的可能) --

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