作者wei0125th (小明)
看板Physics
標題[問題] (a)gradient(b)向量表示式
時間Mon Oct 22 15:27:33 2012
如題
a=a(x,y,z)
b=b(x,y,z)
a,b皆為不為零的純量
有辦法證明，任何一個向量 V(x,y,z) 能表示成 a▽b 嗎?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.161.145
1F：推 Ertkkpoo:當然是不一定所有V都可以成立 10/22 15:49
2F：推 herbert570:直覺上不行，因為V(x,y,z)實際有V1(x,y,z), V2(x,y,z), 10/22 16:45
3F：→ herbert570:V3(x,y,z)，在三維的情況，所以自由度有三個function 10/22 16:46
4F：→ herbert570: 維 10/22 16:46
5F：→ herbert570:而a和b只有兩維的function space，所以不行 10/22 16:46
6F：→ herbert570:進一步的證明等待高明@@ 10/22 16:47
7F：→ wei0125th:可是 ▽b 也有三個維度 10/22 16:55
8F：推 Entropy1988:假設 V/a = ▽b 就變成老問題了，不是所有的向量場都 10/22 17:00
9F：→ Entropy1988:可以寫成對應的某個純量場的梯度。 10/22 17:01
10F：→ Entropy1988:V/a (或說V)是非保守場的話就沒有對應的b 10/22 17:02
11F：推 herbert570:但是這樣還沒有解決喔。因為你的a是自由的 10/22 17:11
12F：→ herbert570:這樣問題就變成 for all vector field V, can you 10/22 17:12
13F：→ herbert570:choose a scalar field a such that V/a is curl-less. 10/22 17:12
14F：→ herbert570:如果不存在這樣的a，那麼才可以disprove 10/22 17:13
16F：→ wei0125th:呃....所以一定找的到這樣的a(x,y,z)嗎.... 10/22 17:19
17F：→ Frobenius:Let φ= -b，F = V/a 10/22 17:20
18F：→ wei0125th:Helmholtz也是有條件的吧? 好像必須要是收斂的場 10/22 17:21
19F：→ wei0125th:而且從Helmholtz不知道怎麼證明過來 10/22 17:22
20F：推 herbert570:可以請Frobenius再講清楚一點嗎？因為這樣還是沒有證完 10/22 17:25
21F：推 Frobenius:成立的條件前提必須是 ▽a．(▽× A) = 0 10/22 17:26
22F：→ herbert570:邏輯上現在的步驟是到了假設a,b存在，然後要找矛盾。 10/22 17:26
23F：推 herbert570:回7樓wei，▽b實際上只有一維function space 10/22 17:29
24F：→ herbert570:就是b(x,y,z) 10/22 17:29
25F：→ wei0125th:大概懂你的意思了 10/22 17:38
26F：推 Frobenius:應該要這樣令 F - ▽ × A = - ▽φ = V/a = ▽b 10/22 18:05
27F：推 Frobenius:換句話說任意向量可表示成 V = a▽b + a ▽ × A 10/22 18:12
28F：推 herbert570:yes...但還缺一個反例，說把curlA那項drop掉會造成矛盾 10/22 18:13
29F：→ Frobenius:當 A 可表示成純函數取梯度時，V = a▽b 10/22 18:14
30F：噓 chris80634:電動作業自己寫好嗎 還上來問..... 星期三要交的東西 10/22 18:23
31F：→ chris80634:你現在才想著要處理?? 10/22 18:24
32F：推 coda17:我幫樓上補推 10/22 18:35
33F：推 abcdef:樓上上...不會寫就問人沒錯吧...搞不好wei只剩這題想不出來 10/22 18:44
34F：推 abcdef:看起來跟Green theorem證明有關，不過原po的問題還真的沒想 10/22 18:53
35F：→ abcdef:過，以前學電動力學就是記一堆公式，沒有消化 10/22 18:54
36F：→ wei0125th:chris會的話拜託教一下 真的想不出來 10/22 19:08
37F：→ chris80634:我可以給你助教手機~ 10/22 19:12
38F：推 atrabiliar31:樓上拜託給我 10/23 15:41
39F：推 chris80634:樓上你要我們助教手機幹嘛= = 10/23 22:36
40F：推 abcdef:你們所謂的助教應該是許XX學生吧，他剛剛跟我說google一人 10/23 23:10
41F：→ abcdef:Clebsch。 10/23 23:10
42F：推 chris80634:是有聽說老師有說這個證明很有名 但是還是想自己想出來 10/24 00:39
43F：→ chris80634:想不出來就算了 10/24 00:40
44F：推 vealy:不懂 想不出來 來物理版請教 有什麼好噓的? 10/24 12:33