作者s1290961 (煦)
看板Physics
標題Re: [問題] length contraction的問題
時間Wed Jul 11 18:16:57 2012
昨天重新看過原po所提的問題，仔細想過一遍，發現我搞錯意思了。
造成困擾實在很抱歉。這篇裡我重新回覆一遍你提的問題。
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我先整理並重新敘述一次問題（示意圖如原文連結）：
有兩個座標系 S 與 S' ，以及一固有長 L_0 之物體，
S 相對物體有一速度 v 沿物體長的方向， S' 則相對該物靜止。
兩座標系中物體頭、尾與 P 線相交此兩事件的時間差分別為 Δt 與 Δt' ，
並期待它們會滿足
L L_0/γ L_0
v = —— = ——— = ——
Δt Δt Δt'
即 Δt' = γΔt 。
另一方面，在 S 座標系看來，是 S' 座標系的時間走得較慢，
因此會有 Δt' = Δt/γ 此一關係式。
而上述兩式卻相矛盾（突然發覺這問題類似雙生子耶）。
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問題點在於，對於這個問題所定義的 Δt 與 Δt' 而言，
時間膨脹關係式並不是 Δt' = Δt/γ ，
而應是 Δt' = γΔt ，對兩座標系都是如此。
原因是兩事件所滿足的是 x_1 = x_2 這一條件，非 x_1' = x_2' 。
恩推導這一關係式的過程會比較容易講清楚：
由勞倫茲變換，
ct_1 = γ( ct_1' + βx_1' )
ct_2 = γ( ct_2' + βx_2' )
兩式相減，
cΔt = γ( cΔt' + βΔx' )
而由於我們是要比較我們的座標系與該 proper frame 中的時間流量，
因而時鐘必須靜止在 proper frame 裡
（若不是的話所顯示的 Δt' 就不是 proper frame 的時間流量了），
故要求 Δx' = 0 （即 x_1' = x_2' ）。因此，
Δt = γΔt'
但在這個問題裡，
頭、尾與 P 線相交此兩事件所滿足的是 Δx = 0 而非 Δx' = 0 ，
所以 Δt 與 Δt' 的關係式非 Δt = γΔt' 而應是 Δt' = γΔt
（推導過程和前面幾乎一樣）。
對於這個問題用比較直接的說法就是，
雖然 S 看來是 S' 的時間走的比較慢沒錯，
但這裡的兩事件卻不是「靜止」在 S' 裡，而是「靜止」在 S 中
（兩事件無所謂靜不靜止，這兒的意思是位置一樣），
所以這個「時鐘」顯示的時間流量並不是 S' 的（而是 S 的），
用 S 的時鐘流量和它比較便顯得沒什麼意義。
但若在 S' 裡用 S' 的時鐘和它比較就會有：
兩座標系對這兩事件的時間差之間的關係式是 Δt' = γΔt 。
※ 引述《s1290961 (煦)》之銘言：
: 原文恕刪
: x_1 、 x_2 分別指 S 座標系中物體頭與尾在 t_1 、 t_2 時刻的位置；
: S' 座標系則為相對該物靜止的座標系。
: 由勞倫茲變換，
: x_1' = γ( x_1 - βct_1 )
: x_2' = γ( x_2 - βct_2 )
: 兩式相減得到（ Δx := x_2 - x_1 ）：
: Δx' = γ( Δx - βcΔt )
: 而由於我們仗量長度時是要求測量「同時刻測得的 x_1 與 x_2 」間的距離，
: 所以要取 Δt = 0 （即 t_1 = t_2 ）。故，
: Δx' = γΔx
: 而此即是長度收縮的公式 L = L_0 / γ 。
: 這公式是有條件的，是同時測量頭尾位置而得到的位置差（長度）才會滿足。
: 但在這個問題中，我們要求 Δx = x_2 - x_1 = 0 而 t_1 與 t_2 不相等，
: 已違背收縮公式推導時的要求，所以這裡才會不滿足勞倫茲收縮公式。
^^^^^^
這裡的不滿足是指 Δx 與 Δx' 之間不滿足，
是我搞錯原po的意思了。很不好意思。
另外，對於我先前的推文，我想把它補充的完整一點：
「長度收縮與同時刻的相對性有著直接關係」，
指的是勞倫茲變換類似於一般座標系的旋轉，
它可以被視為是時空座標系的雙曲角旋轉，
而由於旋轉前後「長度」（時空間隔）不變，
若在空間的投影部分（ Δx ）改變了，
在時間的投影（ Δt ）也必須要改變，以確保「長度」不變。
時間膨脹也類似，只是它處理的是類時間隔，
而長度收縮所處理的則是類空間隔。
關於這旋轉可以參考維基百科：
http://goo.gl/qkdCi
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1F：→ s1290961:如果還有錯或問題麻煩提出，感謝。 07/11 18:26
2F：推 JackBarock:我很想知道 膨脹跟收縮是真實存在還是觀察性的存在 07/12 00:02
3F：→ JackBarock:之前用表格比較了時間膨脹的結果來看雙生子詭辯 07/12 00:02
4F：→ JackBarock:可是發現觀察下是有膨脹,但兩者互觀察的話是互有膨脹 07/12 00:03
5F：→ JackBarock:所以我有點想不通,到底有沒有膨脹 - - 07/12 00:03
不會有矛盾的。我想這也可以從旋轉來理解個大概。
問題在於我們定義的長度或時間間隔，並非勞倫茲不變量，時空間隔 Δs 才是；
就好像一般座標系的旋轉操作裡，物體在 x 、 y 方向的投影量並非不變量，長度才是。
兩個間夾有一角度的座標系 S 、 S' （假設兩者間單純只有旋轉的關係），
躺在 x' 軸上的棍子在 x 軸上的投影量會比棍長短，
而躺在 x 軸上的棍子在 x' 軸上的投影量也會比棍長短，
這兩個敘述是不相矛盾的。
「兩人看到對方的棍子都覺得是對方的棍子的投影量變短了」，
這件事是不會有矛盾的，因為兩人看到的都是對方的棍子，不是同一根；
而時間膨脹也類似，兩個座標系裡都看到對方的時鐘走得慢了，
也是不會有矛盾的，因為兩人看到的都是對方的時鐘，並不是同一個時鐘。
我們所定義的長度與時間間隔並非勞倫茲變換不變量，
所以座標選取是會影響到這些量的；
這些量的改變並不意味著被描述物發生了本質上的變化，
這只是單純因為座標的選取不同罷了。
對於這些，我覺得從「旋轉」來大略的理解應當是個不錯的途徑，
也可以避免掉一些不必要的困惑。
6F：推 JackBarock:S大能幫我解惑一下嗎 > < 現在沒解決就得等開學問教授 07/12 00:07
7F：推 harveyhs:肉眼要觀察的話還要考慮光線傳到你的眼睛 07/12 00:51
8F：→ harveyhs:長度收縮是你安排在時空中每個點的夥計幫你量到的 07/12 00:52
9F：→ harveyhs:互相觀察的確是互有膨脹，但你沒辦法回來重新一起比較 07/12 00:53
10F：推 xgcj:你觀察到的東西就是物理現實 ... 互有膨脹本身不矛盾 07/12 05:52
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