原文刪光光。 加不加速不重要，跳不跳鋼管舞也不重要。這個問題裡面唯一可能出現的 外力是空氣阻力；若假設阻力可以忽略不計，答案就一樣。 設氣球質量 M，人質量 m；人的初始高度 h，氣球的初始高度 H， H >= h。 人與氣球的初始速度和加速度都是零。 首先來分析一下氣球與人的受力。 人受兩個力：重量，和人與繩子之間的摩擦力。 氣球受三個力：重量，繩子張力，和浮力。 其中張力與摩擦力大小相等，方向相反，而且是唯一受人控制的力。 其餘的重量與浮力都是常數。 人在某個 t > 0 的時間開始往下爬。我在這裡只分析其中一小步。 首先，人的手臂稍微放鬆不要拉得那麼用力，於是重力開始把身體往下拉。 這也代表人手和繩子之間的靜摩擦力變小。 等身體下降一小段距離之後，人的手臂又用力把身體停住。在這一段時間， 摩擦力會變得比原本還大。 因為摩擦力的大小等於張力，所以繩子把人這邊的受力完整傳到氣球上。 令 f(t) 為人所受的合力，則 -f(t) 為氣球所受的合力。 從合力可以得到加速度，積分兩次就是位移。 令 U(t) = 積分 f(t') 由 t' = 0 至 t' = t L(t) = 積分 U(t') 由 t' = 0 至 t' = t 則　人的高度　 z(t) = h + L(t)/m 　氣球的高度 z'(t) = H - L(t)/M 質心位置為 [m z(t) + M z'(t)]/(M + m) = (MH + mh)/(M + m) 以上分析可以帶入各種不同的動作。人可以往上爬，可以放手自由落體， 可以跳鋼管舞…… f(t) 會是不一樣的函數，但是當人走了 L/m 的時候，氣球一定會往相 反方向走 L/M，不多不少。 所以大家在做這題的時候，一開始用質心位置不變這個條件就好了。考慮 f(t) 的形狀，然後還積分兩次，這些其實都是做白工... 如果我們真的放個氣球到天上，找個人從上面爬下來，結果會怎樣？ 當然空氣阻力會改變結果。最極端的例子，繩子只是掛在那裏做個樣子， 然後人背著降落傘跳下來。人很快會達到終端速度，而氣球可能還在加速 爬升。 還有另一個不明顯的效應是，氣球遭空氣阻力擠壓變型體積縮小，所以 浮力會小一點。 因為空氣阻力對速度很敏感，所以人爬得越慢，結果會越接近這個題目的 理想答案。 --edit-- 原題目是問「繩子要多長，人才可以安全著陸」。 把「安全著陸」解釋為「不能從太高的地方自由落體」，則繩子長度必須 大約夠得著地面。 你說你從兩三公尺高摔下來也摔不壞？假設氣球原本的高度有上百公尺， 不必計較最後那百分之幾啦。 --edit-- --edit2-- 好啦，少說一個效應，氣球升上去的時候浮力也會變小 = = --edit2-- --

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