作者wohtp (PT)
看板Physics
標題Re: [問題] 飛機從已知點出發，知航向速度求最終位置
時間Thu Feb 2 23:53:15 2012
我真是吃飽太閒...
設飛機速率為 \sqrt{2} v。
（這樣子東西向和南北向的分量都是 v，比較賞心悅目一點。）
令地球半徑為 R。
令 \theta 為緯度，\phi 為經度。
這兩個角度的變化速率是：
\dot{\theta} = v/R
\dot{\phi} = v/(R cos\theta ) = (v/R) sec\theta
設飛行時間為 T 且飛機沒越過北極點。
（到了北極點這個問題也沒有意義了）
緯度的變化是：
\Delta \theta = vT/R
經度的變化是：
\int \dot{\phi} dt = \int sec\theta (v/R) dt
= \int sec\theta d\theta \theta 從 0 到 \Delta theta
積分我就不做了，想知道答案請洽Wolfram Alpha。
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◆ From: 64.69.46.232
3F：推 littletue:經度變化的積分上下限為什麼不是 : 題目給的值(A) 02/03 13:22
4F：→ littletue:A 到 (A+delta theta) 而是 0 到 delta theta ?? 02/03 13:24
5F：→ littletue:現在還有一題類似題,但是delta theta 一算出來是40.01 02/03 13:25
6F：→ littletue:起始角度是50 加上40.01 就超過90了(這就不知道該怎算) 02/03 13:26
那個積分的變數 theta 是緯度喔。
我以為他是從赤道開始飛的，所以積分從零開始。
如果飛到北極去，在北極點無法定義東北方向，題目就壞掉了。
※ 編輯: wohtp 來自: 175.136.214.81 (02/03 15:04)
7F：→ littletue:恩 我知道那是緯度: ) 現在偏偏題目有飛越北極點一些些 02/03 15:37
8F：→ littletue:積分起來,sec(90)會發散就卡住了 02/03 15:38
9F：→ littletue:緯度90.01度不就是另一頭的89.99度? 02/03 15:40
那個發散就是題目壞掉的後果。
超過九十度的緯度本身沒有太大問題，因為算式裡面出現的是 sin，
sin(pi/2 + x) = sin(pi/2 - x)
跟上面你說的一樣。
出問題的是東西南北四方在北極點沒有定義。
在北極點上每一個方向都是直指向南極，也是所有經度線的交點。
當飛機無限趨近北極點的時候，兩條經度線之間的距離趨近於零。
想像一下，你只要繞著北極點走上幾步，就已經繞地軸一圈了。
經度的積分會發散是這個原因。
而且要注意的是，「沿著東北方向」在球面上並不是直線（測地線）。
所以越接近北極，飛機轉彎的速率也會發散。
所以「沿著東北方向」且「飛越北極點」的見鬼航線根本不存在。
※ 編輯: wohtp 來自: 175.136.214.81 (02/03 18:29)
10F：推 littletue:那最後一個疑問...在考場上遇到這題的話 該怎麼辦? 02/03 18:47
11F：→ littletue:因為積分發散,因此此航線不存在? 20分的題目這樣寫好可 02/03 18:48
12F：→ littletue:怕 02/03 18:48
你沒有說錯啊。
這個航道畫出來是個以北極點為中心的螺旋，越接近中間圈圈越密集，
轉過無限多圈之後才會到達北極點。
所以「數學上」在北極點飛機頭朝哪裡是個無解的問題。
就算你要說「啊在北極點上朝就同一個方向飛下去就好了」，
也根本沒有所謂「同一個方向」可言。
※ 編輯: wohtp 來自: 96.44.173.202 (02/03 21:01)
13F：→ littletue:哦,懂了 因此問最終的位置時,就是極點 02/03 21:32
不是。而是說「
飛到極點的時候，飛機的航向無法定義」。
所以更不知道到了北極點之後要怎麼飛下去。
※ 編輯: wohtp 來自: 96.44.173.202 (02/03 21:45)