※ 引述《ntuguy (ya)》之銘言： : 單擺的週期為1秒，擺錘質量m為1公斤 : 則一個能量量子的能量hν為何？ : h : 書上答案是 : hν = --- = 6.63 x 10^-34 : T : ㄜ...hν不是光子的能量量子嗎？ : 可以用來算單擺？？ : 這樣的說法對嗎？ 我來拋磚引玉，看有沒有高手願意提出更漂亮，更完整和更正確的說法XD 這個問題和你的上一篇文章關聯蠻大的:物質波是什麼?然後物質波波長怎麼定義? 這裡就先說一些關於物質波的事情 (以下為了方便都只討論一維，不過套用到三維也是可以的) (另外，因為我打不出h bar，所以我寫h實際上都是表示h bar) 先回到古典物理:在古典物理的continuous string，他的行為我們可以使用wave equation 描述(請參考Marion第13章) wave equation的解我想大家都知道長什麼樣子:exp[i(kx-ωt)] 從這裡我們可以定義出它的波長λ=2π/k 但是，最一般的解，事實上是其線性疊加 在這種情形下，1;33[m我們自然不能明確的定義出這個波的波長 另一個有趣的事情是，如果發生了attenuation，k變成複數，我們一樣定義不出它的波長 就算我們只單單考慮一個exp[i(kx-ωt)] 類似的情形，在光學中 實際上一個sinusoidal function的其中一段，並不是單色光 它是多個頻率(波長)的單色光組合起來的 討論一下群速度和相速度 我們經常聽到，相速度並不是傳遞資訊的速度，傳遞資訊的速度我們應該要考慮群速度 原因是什麼? 首先，先知道相速度怎麼定義的:一個exp[i(kx-ωt)]，其相位ψ=kx-ωt保持恆定(dψ=0) 則dx/dt=ω/k 而一個wave packet，其整體移動速度，(在只考慮一階的情形下)會是群速度 (可以去參考群速度是怎麼推導的) 今天，如果有一個wave packet在繩子上行進 如果我們認為傳遞資訊的速度是相速度，很明顯是不合理的 因為這個wave packet是由多個exp[i(kx-ωt)]疊加起來的，我們怎麼知道該用哪一個? 而且，一個單純的exp[i(kx-ωt)] 無論是在時間上，或是空間上，你都無法明確做出區別 換一個有趣的用語，無論你對它進行space or time translation 只要取了適當的間格(整數倍的波長或週期)，看起來都一樣 這裡回到物質波 實際上，一個可以定義出波長的物質波是一個平面波 也就是，它會具有exp[i(kx-ωt)]這樣子的形式 我們把這個拆開為exp(ikx)exp(-iωt) 稍微比較一下，我們就可以知道 exp(ikx)=exp(ipx/h)是momentum operator的eigenstate exp(-iωt)=exp(-iEt/h)是在Schrodinger equation進行seperation of variable 時，時間演進的部分 所以，實際上，更正確的寫法，應該是將exp[i(kx-ωt)]寫成exp[i(px-Et)/h] 它是更具有物理意涵的寫法 當然，這裡就有其他問題了，我既然說這是seperation of variable 那就表示，exp(ipx/h)應該是time-independent Schrodinger equation的解 顯然的，此時H只有動能項，沒有位能；換句話說，這是free particle E=(p^2)/2m (這裡我們可以換另一種解釋方法: 我們將time evolution operator作用在exp(ipx/h)上 exp(-iHt/h)要變成exp(-iEt/h)，代表exp(ipx/h)是H的eigenstate) 反過來看，因為free particle的[H,p]=0，所以我們自然可以找出H和p的simultaneous eigenstate 再更一般化，我們可以將波函數，或者說state vector 用momentum operator的eigenstate表示出來，也就是|Ψ>=∫dp a(p,t)|p> 和上面比較，我們就能知道，對於free particle，a(p,t)=exp(-iEt/h) 不過，值得注意的是，除非Ψ=Aexp(-iEt/h)exp(ipx/h) 不然我們無法定義出它的物質波波長，就跟古典中的情形一樣 另一個值得說的是，我們不一定要用波函數Ψ(x;t)來描述系統 更一般化一點，我們可以使用state ket(vector)|Ψ(t)> 顯然的，在這種描述下，所謂的物質波波長就不重要了 可以說，只有<x|p'>，所謂的物質波波長才可以定義 以我的想法來看，物質波這概念 重要性是讓大家知道物質會呈現出類似波的性質，也就是波函數 但是，像是物質波波長，並不是特別重要 換句話說，物質波重要的是在"觀念"上，而不是"量化"上 (不過有時候會用這來評估古典極限出現的界線) 說了一長串，可以開始寫結論，也就是直接回答問題了XD (1)我們對一顆棒球，可以定義它的物質波波長嗎? 當然，不可能，一顆棒球不管怎麼看都不可能是free particle 就算一顆棒球是free particles組成的(想當然不可能)，我們也無法知道各個particle 有沒有一樣的動量 很有趣的是，就算就算一顆棒球真的是一個free particle 我們怎麼知道它的state vector剛好是momentum operator的eigenstate? 這裡牽涉到另一個問題，我們很明顯地看到了一顆棒球，我們是不是對他進行了"量測"? 顯然是的，那我們是量測它的動量還是位置? 我只能說:不知道，因為這是巨觀的世界，棒球隨時都和外界進行交互作用 它的state受到了大量的影響--顯然的，這根本不會是free particle 一言以蔽之，我覺得用巨觀的例子實在是不恰當 用這種方法算到的物質波波長....我覺得完全沒有物理意義 (2)至於第二個問題，首先，1公斤....這明顯是巨觀系統了 就如同有人推文中所說，我也認為hω是因為它是近似的harmonic oscillator 和物質波完全沒有關係 但是，巨觀上的harmonic oscillator，微觀上會是嗎?當然不可能 另一個重要的問題，微觀上的harmonic oscillator會有週期行為嗎? 普遍來說不會有，因為我們怎麼知道它是那些base ket疊加起來的? 譬如，假如說state ket剛好等於energy eigenket 那它是steady state，位置的"期望值"永遠不會變 (從Hermite polynomial的對稱性可以看出來是0) 更基本的問題在於，一個微觀系統的位置是機率性的，那它的週期是怎麼定義的? 如果我們選擇使用位置的期望值，就跟上面所說，你要想辦法把它的 energy eigenfunction疊加起來，然後讓它的位置期望值可以有週期性變化..... 至少看起來不是簡單的數學問題XD 跟上一個問題一樣，這問題很明顯過度簡化 -------------------- 不過，並不是所有的巨觀系統都不適合用量子力學描述 在一些統計力學的書中會提到中子星，它就需要量子力學 像是很多巨觀性質，譬如半導體的導電性，物質的磁性等等 全都需要量子力學解釋XD (我們現在眼前的螢幕，旁邊的電腦主機，也是有量子力學才能出現的XD) --

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