作者profyang (prof)
看板Physics
標題[請益] 電容問題
時間Sun Dec 25 18:27:09 2011
感覺自己讀電類科系這麼久還問這問題有點不好意思:P
我想問的是:
靜電學中多導體系統電壓與導體上電荷的關係
也就是例如Jackson 43頁寫的
Vi=Σpij*Qj
或是
Qi=ΣCij*Vj
像Jackson裡面就說
pij(或Cij)是只跟導體的幾何結構有關的
我想問的其實就是這該如何證明
Jackson裡面是說因為"電壓和電荷密度有一個linear functional的關係"
(上面雙引號裡面應該就是指V=1/(4πε0)*∫ρ/|r-r'|d^3r這個式子)
所以這等於是在告訴我
ρ/(∫ρd^3r)=ρ/Q只跟幾何結構有關
試問這又如何證明?
似乎很直觀的東西
但我卻想不出來要如何嚴謹地從數學上證明
目前想到唯一方法就是
似乎可以利用Jackson 39頁的式子
(用Green's function解Dirichlet boundary condition的poisson equation)
V=1/(4πε0)*∫ρ(r')*G(r,r')d^3r'-1/(4π)*∮V(r')*δG/δn'*dA'
因為導體外的電荷ρ=0(電荷只分布在導體表面)
所以V=-1/(4π)*∮V(r')*δG/δn'*dA'
然後導體表面的電壓又是定值
所以V=-1/(4π)*ΣVi∮*δG/δn'*dA'
i Si
因為Green's function只是跟幾何結構有關
所以這等於就證明了Qi=ΣCij*Vj這個式子
(因為Qi=-ε0*∮δV/δn*dA')
Si
但這個解法實在有點複雜
不知道有沒有更簡單的想法可以證明?
是我想得太複雜忽略了什麼簡單的觀念嗎?
請大家不吝賜教
謝謝!
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正妹也只不過是一組物質波方程的特解罷了( ￣ c￣)y▂ξ
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◆ From: 118.169.42.4
1F：推 TDOJ:真的滿直觀的吧..如果你有個電荷密度分布在在空間產生一個電 12/25 19:27
2F：→ TDOJ:位場，則你把全域的電位密度改成K倍，則全域的電位也會改成K 12/25 19:28
3F：→ TDOJ:倍 12/25 19:28
4F：→ profyang:可是你這前提是ρ/Q要維持定值,那V才確定會變K倍 12/25 19:30
5F：→ profyang:今天我如果只知道Q變成K倍 要如何知道V也變K倍? 12/25 19:30
6F：→ TDOJ:因為Q變K倍後，為了滿足導體邊界條件，ρ也勢必只能變K倍呀 12/25 19:34
7F：→ TDOJ:導體問題的解是唯一決定的 12/25 19:35
8F：→ profyang:所以你等於就是說ρ/Q是定值了~那要如何證明這個? 12/25 19:35
9F：→ TDOJ:我推的第二行的第一個電位改成電荷 12/25 19:37
10F：→ profyang:恩我知 我就是想要知道:為何ρ/Q只跟幾何結構有關~ 12/25 19:38
11F：→ TDOJ:因為這樣能維持導體的邊界條件啊，然後導體問題的解是唯一決 12/25 19:38
12F：→ profyang:能證明這件事等於就證明我想問的問題了 12/25 19:38
13F：→ TDOJ:定的，所以ρ變K倍就是正確解了 12/25 19:39
14F：→ profyang:導體的解是唯一 這件事就是我說的Dirichlet problem阿~ 12/25 19:41
15F：→ TDOJ:當然只能跟結構有關阿XD 靜電問題就是跟電荷量跟電荷排列狀 12/25 19:42
16F：→ profyang:它是要給定導體上的電位 就能唯一決定導體外面的電位分佈 12/25 19:42
17F：→ TDOJ:況有關而已 12/25 19:42
18F：→ profyang:但是你要怎麼證明現在邊界條件改變了(V變K倍) 則分布情形 12/25 19:43
19F：→ profyang:還是一樣只是變K倍? 12/25 19:43
20F：→ profyang:可能我比較龜毛 需要從數學式子上看才比較能接受... 12/25 19:44
21F：→ profyang:要證明上面的事情怎麼想都還是要用到Green's function吧 12/25 19:45
22F：→ profyang: /你講\ 12/25 19:45
※ 編輯: profyang 來自: 118.160.192.238 (12/25 19:46)
23F：→ TDOJ:是要用green function沒錯 不過寫出來(大概)也只是看他的線性 12/25 19:46
24F：→ TDOJ:關係而已 12/25 19:46
25F：→ profyang:那這樣也跟我文內所打的差不多吧~只是我是直接把它加起 12/25 19:47
26F：→ profyang:來了~而你的做法則是要再加上重疊原理 12/25 19:48
27F：→ TDOJ:因為分布情況變K倍電位也會變K倍阿，所以我看到電位變K倍， 12/25 19:48
28F：→ TDOJ:就猜他是分不便K倍，然後再用唯一性證明他是對的 12/25 19:48
你的意思是:
Dirichlet邊界條件V=>KV
然後猜測電位分布Φ=>KΦ
而KΦ確實滿足lapalace equation
所以KΦ就是它(邊界條件KV)的唯一解?
所以Q=-ε0*δΦ/δn也變K倍?
29F：推 TDOJ:總結一下我的想法好了，首先你有一個特定結構的導體系統 12/25 19:55
※ 編輯: profyang 來自: 118.160.192.238 (12/25 19:56)
30F：→ TDOJ:在結構不變，電荷加倍的情況，電位也必然加倍，故電容(電荷 12/25 19:58
31F：→ TDOJ:跟電位比值)只能跟結構有關(或沒關) 12/25 19:59
32F：→ profyang:恩大概了解你的意思了 總之就是從解的唯一性出發 12/25 20:01
33F：→ TDOJ:差不多y 12/25 20:03
34F：推 realtemper:我的想法同T大最後那四行～當電位加倍時 電荷加倍顯然 12/26 01:06
35F：→ realtemper:是一解(因為電阻電容電感這些元件都是linear) 12/26 01:07
36F：→ realtemper:然後又因固定邊界條件後，Laplace eq.的解是唯一的 12/26 01:07
37F：→ realtemper:所以一定是整個系統一起linear～ 12/26 01:08
38F：→ realtemper:btw,你慚愧什麼啊～認真看Jackson就夠厲害了啊～ 12/26 01:09
39F：→ profyang:恩謝謝學長~讀Jackson只是想既是號稱研究電磁波的電信所 12/26 11:22
40F：→ profyang:應該要好好把Jackson從頭到尾讀完一次 雖然用不到= =" 12/26 11:23