作者MathforPhy (Wakka)
看板Physics
標題Re: [問題] 轉動慣量之推導
時間Mon Nov 7 22:35:56 2011
※ 引述《Deconation (豬豬)》之銘言：
: 我在書上讀到轉動慣量的式子如下
: I = ∫r^2 dm
記住裡面的r是質點到轉軸的距離
: 書上有一例是 一質量M 長L的均勻竿 以其質心(L/2)為轉動軸 求其轉動慣量
: 然後竿上取某一小段 距離質心x 此段小段長dx 質量dm 由於是均勻竿
: 所以竿上各點之 質量/長度比例均同 可寫成 dm/dx = M/L 即可將式中dm代換掉
: 最後積分 I = ∫ x^2 M/L dx 上下界為L/2,-L/2
: 這個推導我看的懂 但是換成別種型式的我就不知道該怎麼辦了
: 比方說 質量M 半徑R 之均勻圓盤的轉動慣量 它的dm要用什麼代換??? 在圓盤上取一小片
: 那一小片又該怎麼寫?? 還是我的想法有錯呢@@??
把他切割成一個一個寬度為dr(dr<<r)的小圓環，這樣子半徑就是r+dr，角度是2pi
所以那個小圓環的質量dm就是pi(r+dr)^2 - pir^2
pi(r+dr)^2 = pi[r^2+2rdr+(dr)^2] --> pi(r+dr)^2 - pir^2 = 2pi(rdr)(dr^2太小了)
所以I = ∫2pi(r^3)dr (0~R)= pi(r^4)/2，又M=pi(r^2)--->I = MR^2/2
這邊假設密度d=1，其實只是懶得補回去而已
: 再舉一例 http://ppt.cc/mSMr
: 此為長L 半徑R 質量M 以圓心為轉動軸的均勻圓柱體 求其轉動慣量
: 還是同樣的問題 我該怎麼去將dm代換掉呢@@?
: 書本上還有 球體 圓環 扁長方體 等等的轉動慣量推導 若可以 煩請板友簡述一下其假設
: 過程
: 再此先謝過各位板上前輩!!
我覺得你可能還沒學過重積分，有些轉動慣量用重積分很快，但單變數也行
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◆ From: 114.41.219.126
1F：推 Deconation:半徑是r+dr 這段我看不懂@@ 切成寬dr的小圓環 為何還 11/07 22:42
2F：→ Deconation:要加上r呢?? 不是已經切割了嗎@@??? 11/07 22:43
3F：→ Deconation:dm=2π(r+dr)^2 - 2π^2 此式是從何而知呢@@? 11/07 22:44
4F：→ Deconation:小弟我剛上大一不久^^" 物理程度差差的 煩請Math大詳細 11/07 22:45
5F：→ Deconation:說明一下 謝謝你^^!!! 11/07 22:45
6F：→ MathforPhy:因為有內徑跟外徑阿，圓環的質量不就是 11/07 22:50
7F：→ MathforPhy:pi(外徑平方-內徑平方) 11/07 22:50
8F：→ MathforPhy:你就畫一個內半徑為r，外半徑為r+dr的環就知道了 11/07 22:53
10F：→ Deconation:原來如此!! 我知道了 謝謝Math大 還特地去畫圖X"D 11/07 23:19
11F：推 Deconation:疑 Math大的方法 是圓盤還是圓環!? 11/08 20:59
12F：→ Deconation:我原先的PO文 有人說用 D=M/V 去代換掉dm 可是像圓環 11/08 20:59
13F：→ Deconation:或圓盤這樣子的物體 要怎麼算其體積@@? 11/08 21:00
14F：→ MathforPhy:圓環積分起來就變圓盤囉 11/08 21:10
15F：→ MathforPhy:圓盤或圓環就把體積當作面積，不然的話他們h=0 11/08 21:14
※ 編輯: MathforPhy 來自: 114.38.164.204 (11/12 19:29)
※ 編輯: MathforPhy 來自: 114.38.164.204 (11/12 19:30)