作者Schwinger (Schwinger)
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標題Re: [問題] Lagarangian自變數是獨立的？
時間Tue Oct 4 00:17:24 2011
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《Dirac (拉拉)》之銘言：
: : . .
: : 一般而言，L(q, q, t)中的q、q、t被視為independent variables，究竟是為什麼？
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ really?
: 我們來看一下推導
: 令 L = L(q,v,t)
: S=∫ L(q,v,t) dt
: δS = δ∫L(q,v,t) dt
: = ∫[(d/dq)L δq + (d/dv)L δv] dt (d是偏微分)
這裡的d應該是偏微吧
: 如果 q, v 是 independent
q, v 是 independent不代表 δq和δv就是一定 independent
不過這裡的確可看出 δq和δv是dependent,不然會像你說的那樣個別分開=0
or 你是否可以給個證明?
_________________________________________________________________________
我剛剛再次推一次,發現key step 是 δq'= dδq 還有一個要求就是
integration by part 的時候邊界固定,即上下 δq_i = 0
q, v 是 independent,照樣可以推出 Euler-Lagrange方程
: 則 δS=0 implies (d/dq)L=0, (d/dv)L=0
我又發現一個bug,δS=0這裡有積分喔,而且是上下限給定的積分,你怎麼證明下列
(d/dq)L=0, (d/dv)L=0 這裡不是你想的線性獨立喔,不然給個證明,你寫太簡略了
: 但是 這樣推不出牛頓方程式
^^^^^^^^^^^^^
Euler-Lagrange方程????
: 因此 獨立的 只有q
: v=Dq/Dt, δv=(D/Dt)δq
what is your D?
: 再利用部分積分以及邊界條件得
: δS = ∫[(d/dq)L - (D/Dt)(d/dv)L ] δq dt
我可以用物理來解釋 q和 q'是獨立的,我看一本變分學的書也說是獨立的
有興趣去看Marion的第七章的循環坐標cyclic coordinate那裡,
他有解釋道,如果q_k是一個循環坐標,則L中的座標可以少一個q_k,但是L仍然有q_k'項
可見q_k和q_k'是獨立的,我的看法是這樣,不知道是否有人可以反推
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◆ From: 140.113.28.113
※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:20)
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※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:39)
1F：→ chungweitw:D is the total derivative. 10/04 00:42
我看懂了@@,應該沒有人這樣寫的吧,他把d寫成D,d寫偏微我被誤導了><
2F：→ chungweitw:Maion 明確寫出 q' 就只是 q 對時間的微分. 10/04 00:42
3F：→ chungweitw:they are not independent..這 Marion 明確地寫出來 10/04 00:43
那請問大大他有寫why嗎?
4F：→ Schwinger:其實我Marion一時放在寢室,我是看跟幾乎跟Marion一樣的 10/04 00:44
5F：→ Schwinger:大陸書,然後翻到循環坐標那裡,然後這本書是寫p和q才獨立 10/04 00:46
6F：→ Schwinger:一般來說我們都是看q和p的相圖吧,但是後來我想這問題覺 10/04 00:47
7F：→ Schwinger:得其實他問的好像也可以想看看,然後發現循環座標可解釋 10/04 00:48
8F：→ Schwinger:上學期我們也有考這題ket step是δq和δq'是要depedent 10/04 00:51
9F：→ Schwinger:但是後來我剛想想,這裡是定積分=0的時候成立的情況 10/04 00:53
※ 編輯: Schwinger 來自: 140.113.28.113 (10/04 00:57)
10F：→ chungweitw:就只是對時間的微分而已啊. 為何會認定 獨立? 10/04 00:54
11F：→ Schwinger:因為他問了><,然後我以為他是看書問的結果讓我一直想>< 10/04 00:59
12F：→ Schwinger:比如圓周運動位置向量和速度就會垂直呀,這是個例子吧? 10/04 01:01
13F：推 WINDHEAD:我認為獨立與否其實是心理學的問題而非物理學XD 10/04 01:01
14F：→ Schwinger:一般曲線座標系和他的微分也是可能獨立只是可能不會垂直 10/04 01:02
15F：→ Schwinger:WINDHEAD大來一篇看法救援一下吧><,昨天你也回Dirac了XD 10/04 01:03
16F：推 WINDHEAD:我看法很單純啦 就是解方程咩 多設一個變數可以幫助你 10/04 01:04
17F：→ Schwinger:我以為他都看書來問,結果都是他自己再想的吧><也是好事 10/04 01:05
18F：→ WINDHEAD:解方程. 新設的變數一定從舊變數來的,但在操作的時候 10/04 01:05
19F：→ WINDHEAD:仍然當成一個新變數在算,反正我們要的是最後那個答案 10/04 01:06
20F：→ Schwinger:那舊變數和新變數的關係應該可以是獨立也可以不獨立吧? 10/04 01:06
21F：→ Schwinger:比如t在那裏就是一個相依的變數,然後q和q'獨立或是相依 10/04 01:07
22F：→ Schwinger:這樣算對嗎?但是我剛剛寫的循環坐標呢?你怎麼看c大您呢? 10/04 01:08
23F：→ chungweitw:我的看法和 Marion 一樣 :p 10/04 01:09
24F：推 sputtering:我覺得應該是討論再相空間視為獨立吧 不然誰跟誰的群有 10/04 01:09
25F：→ chungweitw:t 是獨立變數. q = q(t) 10/04 01:09
26F：→ sputtering:映射根本只是定義問題 10/04 01:10
27F：→ chungweitw:L is a functional of q(t)... 10/04 01:10
28F：→ chungweitw:所以求 EOM, 獨立的就只有 q(t), t... 10/04 01:11
29F：→ caseypie:基本上只是定義的問題，你高興設什麼變數獨立都可以 10/04 01:12
30F：→ caseypie:偏微分的概念本來就是這樣，就算y = y(x)，還是可以定義 10/04 01:13
31F：→ caseypie:定義f(x,y(x))=xy，然後f(x,y)對y偏微就是x 10/04 01:13
32F：→ Schwinger:我昨天嘗試用線代觀點去證明和反證q和q'獨立做不出來>< 10/04 01:14
33F：→ Schwinger:推caseypie大大,我就是這樣想的,終於有人支持我了XD 10/04 01:14
34F：→ Schwinger:這裡獨不獨立不重要δq'= dδq還有固定端點δq=0才重要 10/04 01:18
35F：→ Schwinger:J大他的證明我不覺得是對的,因為這裡是定積分的問題 10/04 01:18
36F：→ chungweitw:disagree :p....我同 J 大..這裡是要求 EOM 10/04 01:19
37F：→ Schwinger:他說q,v是independent則δq和δv會是independent怎麼證? 10/04 01:22
38F：→ caseypie:q和t不是獨立的啊，q就是t的函數，整個EOM裡面只有t而已 10/04 01:43
39F：→ caseypie:q和v也不可能independent，因為q=q(t),v=v(t) 10/04 01:44
40F：→ caseypie:所以我可以定義反函數t=q^-1(q)，然後就有v=v(q^-1(q)) 10/04 01:46
41F：→ caseypie:於是v就是q的函數 10/04 01:46
42F：推 sputtering:我笑了 10/04 01:46
43F：→ WINDHEAD:以線代觀點來說, q和q'的確是獨立的 10/04 01:47
44F：→ caseypie:哪，解方程式的時候當然可以設計一個向量(q,q')啊 10/04 01:48
45F：→ caseypie:但是那是數學上的處理方式而已，沒有說絕對是獨立吧 10/04 01:48
46F：→ sputtering:泛函給妳靠 10/04 01:48
47F：推 sputtering:XD推心理學~ 10/04 02:00
48F：→ Schwinger:推caseypie大,他剛剛已經就寫了一個很經典的例子了^^ 10/04 02:01
49F：→ Schwinger:t在這裡只是一個參數,q和q'其實就可以構造獨立或不獨立 10/04 02:03
50F：→ Schwinger:不過我在循環座標的疑惑還是沒有解除,應該說q和q'無關吧 10/04 02:04
51F：→ Schwinger:獨立和無關的確就是心理學名詞XD 10/04 02:05
52F：→ Schwinger:WINDHEAD大給您一個反例,一維的運動位置和速度就不獨立 10/04 02:11
53F：→ Schwinger:極端的就是圓周運動囉,然後介於這二者的通通都是獨立的 10/04 02:12
54F：→ Schwinger:我這裡的位置是只位置向量,這樣我就可以用線代來定義吧 10/04 02:13
55F：推 xgcj:學長還沒睡喔!QQ 10/04 02:14
56F：→ Schwinger:明天要考試,真的快完蛋了><你有修過雷射導論嗎? 10/04 02:16
57F：→ Schwinger:以後要天天正常了,不然熬夜又亂想這些,可惡的DiracXD 10/04 02:16
58F：推 xgcj:其實這問題跟切觸流型和辛結構有關 10/04 02:17
59F：→ xgcj:我要修 被老師趕走了 她不讓我加遷QQ 10/04 02:17
60F：→ Schwinger:你又把我們陷入一片Dirac sea了,不過你跟本尊差太遠了XD 10/04 02:17
61F：→ xgcj:本尊? 10/04 02:18
62F：→ Schwinger:去年我也是不讓我簽今年直接上了,你就說有畢業壓力呀XD 10/04 02:19
63F：→ xgcj:她就是不讓我簽 艮! 10/04 02:19
64F：→ Schwinger:我是說這位PTT的Dirac連問一堆真的不像Dirac本人會問的 10/04 02:20
65F：→ xgcj:我是第二星期來簽的 這也沒辦法 嘆~ 10/04 02:20
66F：→ xgcj:我到是覺得這是好問題 10/04 02:20
67F：→ Schwinger:你說這問題跟切觸流型和辛結構有關?有那麼複雜嗎?@@ 10/04 02:21
68F：→ Schwinger:這問題倒是比上一篇好很多沒錯不過不值得我熬夜替他想@@ 10/04 02:22
69F：→ Schwinger:我要回去睡啦><,有機會再出來吃飯吧^^ 10/04 02:23
70F：推 xgcj:你可以把這些東西 用幾何去思考 然後嚴謹化 10/04 02:23
71F：→ xgcj:好啊!^^ 10/04 02:23
72F：→ Schwinger:晚安啦各位,也謝謝參與討論的同學,希望Dirac能夠解惑了 10/04 02:24
73F：→ Schwinger:我看一堆人去註冊大師好了,好像連問問題都有人肯認真回 10/04 02:25
74F：→ Schwinger:昨天看他那篇的語氣和用字還以為這是對的或他有深入想過 10/04 02:27
75F：推 WINDHEAD:schwinger那個不算反例，因為q與q'之間的係數會隨時間變 10/04 02:53
76F：推 WINDHEAD:化。線代要求係數必須是常數喔。如果可以變的話豈不是萬 10/04 02:57
77F：→ WINDHEAD:物皆相依XDDDD 10/04 02:57
78F：推 sukeda:要看q, q(dot) 我想的確要從manifold下手... 10/04 02:59
79F：→ Schwinger:推W大,我累了X,人很累了就會亂想一個東西想脫身睡覺>< 10/04 03:07
80F：推 crazyjamie:這問題非常好阿 初學也容易被搞混 10/04 03:18
81F：→ crazyjamie:廣義的東西只是拿去類比很像是我們熟悉的東西 10/04 03:19
82F：→ crazyjamie:實質上他的性質已經有不小的變化了 10/04 03:20
83F：推 mozart39:依我的卓見..喔不 是拙見... 這問題和 torsion 有關 10/04 04:34
84F：→ chungweitw:你在做偏微分那一部, q, q' 當然視為獨立. 10/04 04:43
85F：→ chungweitw:但是 q' 不過就是 q 的微分...你做 variation 就不該 10/04 04:44
86F：→ chungweitw:視為兩個獨立的量..所以分布積分回去得到單純的q.. 10/04 04:44
87F：→ chungweitw:這和你下一篇 how to cacel the dot 其實是同一件事. 10/04 04:44
88F：→ chungweitw:不然你硬要說, H(p,q) 的 p 和 q 你也可以說不獨立了.. 10/04 04:45
89F：→ chungweitw:因為兩者可以從 EOM 之間得知有關聯.. 10/04 04:45
90F：→ chungweitw:但是你在得到 EOM時, H 就是一個 2n 個獨立變量的泛含 10/04 04:46